三角函数线

前言

如果只用三角函数的值，仅仅是数的刻画，没有形的直观，引入三角函数线这种有向线段后，就能实现数和形的统一，便于我们数形结合解决题目。

如下图所示，在单位圆中，(r=|OP|=1)，则依照正弦函数的定义得到，(sin heta=cfrac{y}{r}=y)，

而(|y|=|MP|)，如果将线段(MP)看成有向线段，则(y=MP)，所以(sin heta=MP)，这样就实现了由数(Longrightarrow)形的转化；

同理，(cos heta=OM)，( an heta=AT)，注意：线段是有向线段，比如正弦线始终是由点 (M) 指向点 (P) 的；

由三角函数线可以得到以下常用结论：

①三角函数值(sin heta)、(cos heta)、(tan heta)的正负；

角度( heta)	第Ⅰ象限	第Ⅱ象限	第Ⅲ象限	第Ⅳ象限
(sin heta)	(+)	(+)	(-)	(-)
(cos heta)	(+)	(-)	(-)	(+)
( an heta)	(+)	(-)	(+)	(-)

②三角函数值的变化情况；

角度( heta)	(0 ightarrowcfrac{pi}{2})	(cfrac{pi}{2} ightarrowpi)	(pi ightarrowcfrac{3pi}{2})	(cfrac{3pi}{2} ightarrow2pi)
(sin heta)	(0 ightarrow 1)	(1 ightarrow 0)	(0 ightarrow -1)	(-1 ightarrow 0)
(cos heta)	(1 ightarrow 0)	(0 ightarrow -1)	(-1 ightarrow 0)	(0 ightarrow 1)
( an heta)	(0 ightarrow +infty)	(-infty ightarrow 0)	(0 ightarrow +infty)	(-infty ightarrow 0)

③大小比较 [储备：这些知识在三角函数的化简求值计算时可能需要用到]

当( heta)的终边落在直线(y=x)上时，(sin heta=cos heta)；

当( heta)的终边落在直线(y=x)右下方时，(sin heta<cos heta)；

当( heta)的终边落在直线(y=x)左上方时，(sin heta>cos heta)；

①解三角不等式，

求函数(y=lg sinx+sqrt{cos2x+frac{1}{2}})的定义域。

【解析】三角不等式常用两种解法，利用三角函数线或者三角函数图像，详解如下：

【1、单位圆+三角函数线】

如图所示，由正弦线可知，(sinx>0)得到：(xin(2kpi，2kpi+pi)(kin Z))

由余弦线可知，(cos2xge-cfrac{1}{2})

得到：(2xin[2kpi-cfrac{2pi}{3}，2kpi+cfrac{2pi}{3}](kin Z))，

所以(xin[kpi-cfrac{pi}{3}，kpi+cfrac{pi}{3}]\=[2kpi-cfrac{pi}{3}，2kpi+cfrac{pi}{3}]igcup[2kpi+cfrac{2pi}{3}，2kpi+cfrac{4pi}{3}](kin Z))，

求其交集得到(xin(2kpi，2kpi+cfrac{pi}{3}]igcup[2kpi+cfrac{2pi}{3}，2kpi+pi)(kin Z))

【2、三角函数法】转化为解三角函数不等式组(egin{cases} sinx> 0 \ cos2x+frac{1}{2}ge 0end{cases})，

解不等式(sinx>0)

得到：(xin(2kpi，2kpi+pi)(kin Z))

解不等式(cos2xge-cfrac{1}{2})

得到：(2xin[2kpi-cfrac{2pi}{3}，2kpi+cfrac{2pi}{3}](kin Z))，

所以(xin[kpi-cfrac{pi}{3}，kpi+cfrac{pi}{3}](kin Z))，

求其交集得到(xin(2kpi，2kpi+cfrac{pi}{3}]igcup[2kpi+cfrac{2pi}{3}，2kpi+pi)(kin Z))

②证明同角三角函数关系和诱导公式；

同角三角函数关系的证明，勾股定理；

关于诱导公式的证明，以(sin( heta+cfrac{pi}{2}))为例；

如图所示，(sin heta=MP)，(cos heta=OM)，(sin( heta+cfrac{pi}{2})=M'P')，(cos( heta+cfrac{pi}{2})=OM')，

又由于(Rt riangle OMPcong Rt riangle P'M'O)，故有(M'P'=OM)，即(sin( heta+cfrac{pi}{2})=cos heta)，

且有(M'O=MP)，即(-cos( heta+cfrac{pi}{2})=sin heta)，也即(cos( heta+cfrac{pi}{2})=-sin heta)，

③做三角函数图像。