前言
接上节：二轮|导数中的题型和破解思路01
知识储备
本节用到的数学思想：分类讨论；转化划归；数形结合；函数与方程；
本节用到的数学方法：导数法，多项式除法，试商法，分组分解法，分离参数法，
恒成立、能成立类命题
题型结构图2
【题型Ⅵ】已知函数(f(x))的零点个数，求参数的取值范围
- 类型1：给定函数的零点个数
思路方法：常考虑①利用已有的单调性分类讨论确定参数的范围；②不完全分离参数法；③完全分离参数法；
【法1】：数形结合法，定义域为((0，+infty))，转化为方程(kx^2=lnx)有两个不同的实数根，
再转化为函数(y=kx^2)与函数(y=lnx)的图像有两个不同的交点，
如图设两个函数的图像相切于点为((x_0，y_0))，
则有关系式(egin{cases}2kx_0=cfrac{1}{x_0}\kx_0^2=y_0\y_0=lnx_0end{cases})，
解得(y_0=cfrac{1}{2}，x_0=sqrt{e})，即切点为((sqrt{e}，cfrac{1}{2}))，
再代入函数(y=kx^2)，求得此时的(k=cfrac{1}{2e})，
再结合函数(y=kx^2)的系数(k)的作用，可得两个函数要有两个不同的交点，
则(kin(0，cfrac{1}{2e}))。
【法2】：分离参数法，定义域为((0，+infty))，转化为方程(kx^2=lnx)有两个不同的实数根，
再转化为(k=cfrac{lnx}{x^2})有两个不同的实数根，
再转化为函数(y=k)和函数(y=g(x)=cfrac{lnx}{x^2})的图像有两个不同的交点，
用导数研究函数(g(x))的单调性，(g'(x)=cfrac{cfrac{1}{x}cdot x^2-lnxcdot 2x}{(x^2)^2}=cfrac{1-2lnx}{x^3})，
令(1-2lnx>0)，得到(0< x<sqrt{e})，令(1-2lnx<0)，得到(x >sqrt{e})，
即函数(g(x))在区间((0，sqrt{e}])上单调递增，在([sqrt{e}，+infty))上单调递减，
故(g(x)_{max}=g(sqrt{e})=cfrac{1}{2e})，
作出函数(g(x))和函数(y=k)的简图，由图像可得(k)的取值范围是(kin(0，cfrac{1}{2e}))。
【题型Ⅶ】已知函数(f(x))有极值，求参数的取值范围
- 类型1：含参函数(f(x))有极值，
思路方法：常考虑函数(y=f'(x))有变号零点，再数形结合转化有交点或分离参数转化有解
分析：函数(f(x)=cfrac{1}{3}x^3+cfrac{1}{2}|vec{a}|x^2+vec{a}cdot vec{b}x)在(R)上有极值，
其充要条件是其导函数(y=f'(x))存在变号零点，
(f'(x)=x^2+|vec{a}|x+vec{a}cdot vec{b})，其(Delta =|vec{a}|^2-4vec{a}cdot vec{b}>0)，
设(vec{a})与(vec{b})的夹角为( heta)，
则(4|vec{b}|^2-4 imes 2|vec{b}| cdot |vec{b}| cos heta>0)，
即(cos heta<cfrac{1}{2})，由于( hetain [0，pi])，
所以( heta in (cfrac{pi}{3}，pi])，故选(B)。
- 类型2：含参函数(f(x))有且仅有一个极值
思路方法：常考虑函数(y=f'(x))有且仅有一个变号零点，再数形结合转化为仅有一个交点或分离参数转化有解；
分析：(f'(x)=4x^3-3ax^2+2x=x(4x^2-3ax+2))，
函数(f(x)=x^4-ax^3+x^2-2)有且仅有一个极值点，
其充要条件是因子函数(h(x)=4x^2-3ax+2)不存在变号零点，
即(Delta=9a^2-32leq 0)，解得(-cfrac{4sqrt{2}}{3}leq aleq cfrac{4sqrt{2}}{3})，
即(ain [-cfrac{4sqrt{2}}{3}，cfrac{4sqrt{2}}{3}])。
【题型Ⅷ】已知方程(a=f(x))有(n)个根，求参数的取值范围
- 类型1：给定或能转化为形如方程(a=f(x))有(n)个根
思路方法：需要将所给的题目转化为上述方程有(n)个根的形式，难点是利用导数或其他方法做出函数(f(x))的图像，数形结合求解即可。
分析：转化为函数(y=f(x))和函数(y=3)的图像恰有(3)个不同的交点，
做出两个函数的图像，由图像可知，要使其有(3)个不同的交点，
只需要(-1< a <1)，故(ain (-1，1))。
- 类型2：函数(g(x)=f(x)-a)有(n)个不同的零点
思路方法：将函数(g(x)=f(x)-a)有(n)个不同的零点，转化为方程(a=f(x))有(n)个不同的根，转化为类型1。
分析：先由奇偶性和周期性推知对称性，(f(-x)=f(x))，和(f(x+4)=f(x))，则有(f(4+x)=f(-x))，
则函数(f(x))的对称轴(x=2)，
由于当(0leq xleq 2)时，(f(x)=min{-x^2+2x，2-x})，
即当(0leq x leq 2)时，函数(f(x))的解析式如下，它是做图像的基础。
(f(x)=left{egin{array}{l}{-x^2+2x，0leq xleq 1}\{2-x，1<xleq 2}end{array} ight.)，
由于方程(f(x)-mx)恰有两个根，则函数(y=f(x))与(y=mx)恰有两个交点，
做函数(y=f(x))与(y=mx)的图像如下图所示，
先看(x>0)这一段，记过点((0，0))和((3，1))的直线的斜率为(k_1)，则(k_1=cfrac{1}{3})，
记过点((0，0))且和函数(y=f(x)=-x^2+2x(0leq xleq 1))相切的直线的斜率为(k_2)，切点为((x_0，y_0))，
则有(f'(x_0)=-2x_0+2=m①)；(y_0=mx_0②)；(y_0=-x_0^2+2x_0③)，
解得(x_0=0)，(y_0=0)，则切点坐标为((0，0))，斜率(k_2=2)，
故在(x>0)这一段，两个函数要有两个交点，由图像可得，(cfrac{1}{3}<m<2)，
又由于函数(f(x))定义在(R)上，且为偶函数，故在(x<0)这一段上，两个函数要有两个交点，(-2<m<-cfrac{1}{3})，
综上所述，(min (-2，-cfrac{1}{3})cup(cfrac{1}{3}，2))。
【题型Ⅸ】已知(a=f(x))有解或无解，求参数的取值范围
- 类型1：给定方程(a=f(x))有解或能转化为方程有解
思路方法：求解行不通时就数形结合；即函数(y=a)和函数(y=f(x))的图像有交点，难点：①能顺利转化为本类型；②做函数(f(x))的图像；
法1：在同一个坐标系中，分别作出两个函数的图像，由动函数的图像平移可知(ageqslant 1)，故选(C).
法2：转化法，转化为函数(h(x)=f(x)-g(x)=x^2-2lnx-a)有零点，分析单调性，令(h(x)_{min}leqslant 0)，故选(C).
法3：[重点方法]转化法+分离参数法，转化为(a=x^2-2lnx)有解，即函数(y=a)和函数(y=x^2-2lnx)图像有交点，故选(C).
引申：可能还会同时考查整体思想，比如以下的题目；
函数(f(x)=x^2)，(g(x)=2lnx+b^2-b)有公共点，则(b)的取值范围是____________.
函数(f(x)=x^2)，(g(x)=2lnx+a+cfrac{1}{a})有公共点，则(a)的取值范围是____________.
- 类型2：给定方程(a=f(x))无解或能转化为方程无解
思路方法：求解行不通时就数形结合；即函数(y=a)和函数(y=f(x))的图像无交点，难点：①能顺利转化为本类型；②做函数(f(x))的图像；
法1：在同一个坐标系中，分别作出两个函数的图像，由动函数的图像平移可知(ageqslant 1)，故选(D).
法2：转化法，转化为函数(h(x)=x^2-2lnx-a)无零点，分析单调性，令(h(x)_{min}> 0)，故选(D).
法3：[重点方法]转化法+分离参数法，转化为(a=x^2-2lnx)无解，即函数(y=a)和函数(y=x^2-2lnx)图像无交点，故选(D).
引申：可能还会同时考查整体思想，比如以下的题目；
函数(f(x)=x^2)，(g(x)=2lnx+b^2-b)无公共点，则(b)的取值范围是____________.
函数(f(x)=x^2)，(g(x)=2lnx+a+cfrac{1}{a})无公共点，则(a)的取值范围是____________.
【题型Ⅹ】函数(y=f(x))在区间((a，b))上单调或不单调，求参数的取值范围
- 类型1：函数(y=f(x))在区间((a，b))上单调
思路方法：①分类讨论，单调递增时，(f'(x)ge 0)恒成立；单调递减时，(f'(x)leq 0)恒成立；结果求并集；
②直接法，由于函数单调，则(y=f'(x))无零点，或有不变号零点，再转化为方程(f'(x)=0)无解或有切点解的形式。
法1：分类讨论法，(f'(x)=x^2-2x+a)，
若函数(f(x))在([-1，2])上单增，则(f'(x)=x^2-2x+age 0)恒成立，
分离参数得到(age -x^2+2x)恒成立，
在([-1，2])上求得函数(f(x)_{max}=1)，故(age 1)；
若函数(f(x))在([-1，2])上单减，则(f'(x)=x^2-2x+aleq 0)恒成立，
分离参数得到(aleq -x^2+2x)恒成立，
在([-1，2])上求得函数(f(x)_{min}=-3)，故(aleq -3)；
故当(ain (-infty，-3]cup[1，+infty))时，函数(f(x))在区间([-1，2])上单调。
法2：直接法，由于函数(f(x)=cfrac{1}{3}x^3-x^2+ax-5)在区间([-1，2])上单调，
则函数(y=f'(x))在区间([1，2])上无零点，
即方程(f'(x)=x^2-2x+a=0)在区间([1，2])上无解，
即方程(a=-x^2+2x)在区间([1，2])上无解，
由图像可知，(f'(x))的值域为([-3，1])，
故方程(f'(x)=0)无解时得到，(a < -3)或(a >1)，
由于上述的转化是不等价的，以下检验端点值是否满足题意。
当(a=-3)时，(f'(x)=x^2-2x-3=(x+1)(x-3))，此时若(xin [-1，2])，
则有(f'(x)leq 0)恒成立，故函数(f(x))在区间([-1，2])上单调递减，
符合题意，添加(a=-3)；
当(a=1)时，(f'(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2)，此时若(xin [-1，2])，
则有(f'(x)ge 0)恒成立，故函数(f(x))在区间([-1，2])上单调递增，
符合题意，添加(a=1)；
综上所述，函数(f(x)=cfrac{1}{3}x^3-x^2+ax-5)在区间([-1，2])上单调，
则实数(a)的取值范围是(ain (-infty，-3]cup[1，+infty))。
- 类型2：函数(y=f(x))在区间((a，b))上不单调
思路方法：①补集法，先求在区间((a，b))上单调时的参数范围，再求其补集
②直接法，函数不单调，则(y=f'(x))有变号零点，则方程(f'(x)=0)有解，且为变号解的形式；
法1：间接法，从反面入手，利用补集思想，(f'(x)=x^2-2x+a)，
若函数(f(x))在([-1，2])上单增，则(f'(x)=x^2-2x+age 0)恒成立，
分离参数得到(age -x^2+2x)恒成立，
在([-1，2])上求得函数(f(x)_{max}=1)，故(age 1)；
若函数(f(x))在([-1，2])上单减，则(f'(x)=x^2-2x+aleq 0)恒成立，
分离参数得到(aleq -x^2+2x)恒成立，
在([-1，2])上求得函数(f(x)_{min}=-3)，故(aleq -3)；
则当(aleqslant -3)或(ageqslant 1)时，函数函数(f(x))在([-1，2])上单调，
故取其补集，当(-3< a <1)时，函数(f(x))在区间([-1，2])上不单调。
法2：从正面入手分析，直接法，由题可知(f(x))不单调，则导函数(y=f'(x)) 在开区间((-1,2))内注意此处必须是开区间((-1,2))而不能是闭区间([-1,2])，如果是闭区间，且导函数刚好只过点(x=-1)，在((-1,2])上为正，则此时原函数是单调递增的(quad)至少有一个变号零点，
当只有一个变号零点时，由(f'(-1)cdot f'(2)< 0)可得，(-3< a< 0)；
当有两个变号零点时，由(egin{cases}f'(-1)geqslant0\f'(2)geqslant0\Delta >0end{cases})，解得(0leqslant a<1)；
综上所述，实数(a)的取值范围是((-3，1))。
解后反思：其实应该转化为导函数(y=f'(x))在区间((-1，2))上至少有一个变号零点，不应该包含端点值，如果是仅仅过一个端点值，或者刚好过两个端点值时，函数都是单调的。
法3：(转化为方程有解类型求解)由法2可知，导函数(y=f'(x))在区间([-1，2])上至少有一个变号零点，
即方程(f'(x)=0)至少有一个解，故(a=-x^2+2x)在([-1，2])上至少有一个解，
到此转化为方程有解类型，需要求函数的值域。
需要求出函数(y=-x^2+2x，xin [-1，2])上的值域([-3，1])，
由于上述的转化过程不是等价的等价的转化应该是方程(f'(x)=0)在区间([1,2])上至少有一个解，且解不能是切点解必须是穿根解，且还不能是过区间端点的穿根解；(quad)，故需要检验。
当(a=-3)时，(f'(x)=x^2-2x-3=(x+1)(x-3))，此时若(xin [-1，2])，
则有(f'(x)leq 0)恒成立，故函数(f(x))在区间([-1，2])上单调递减，
不符合题意，舍去；
当(a=1)时，(f'(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2)，此时若(xin [-1，2])，
则有(f'(x)ge 0)恒成立，故函数(f(x))在区间([-1，2])上单调递增，
不符合题意，舍去；故实数(a)的取值范围是((-3，1))。
解后反思：若能直接转化为导函数(y=f'(x))在区间((-1，2))上至少有一个变号零点，就省却了验证了。
解析：由题意知 (f'(x)=-x+4-cfrac{3}{x}=-cfrac{(x-1)(x-3)}{x})，
由(f'(x)=0) 得函数 (f(x))的两个极值点为(1)和(3)，
则只要这两个极值点有一个在区间((t, t+1))内，函数 (f(x))在区间 ([t, t+1]) 上就不单调,
所以(1in(t, t+1)) 或 (3in(t, t+1))
即(left{egin{array}{l}{t<1},\{t+1>1}end{array} ight.)或(left{egin{array}{l}{t<3}\{t+1>3}end{array} ight.)
解得(0<t<1) 或 (2<t<3)，故填写 ((0,1)cup(2,3))；
(1).若函数(f(x))在区间((1，+infty))上单调递减，求实数(a)的取值范围；
分析：切入点，函数(f(x))在某区间单调递减，则导函数(f'(x)leq 0)在此区间恒成立，(本来还需要验证(a)的取值不能使原函数成为常函数，此题中口算验证就可以)。
(f'(x)=cfrac{lnx-1}{ln^2x}+a)，由题可知(f'(x)=cfrac{lnx-1}{ln^2x}+aleq 0)在区间((1，+infty))上恒成立，
分离参数得到，(aleq cfrac{1-lnx}{ln^2x}=cfrac{1}{ln^2x}-cfrac{1}{lnx})，
令(g(x)=cfrac{1}{ln^2x}-cfrac{1}{lnx})，此时只需要求出(g(x)_{min})即可。
为了求得(g(x)_{min})，我们可以考虑导数法，不过如果能注意到函数的结构特征，还可以有其他的选择。
思路1(二次函数法)：令(lnx=t)，则由于(x>1)，得到(lnx=t>0)，这样(g(x)=cfrac{1}{ln^2x}-cfrac{1}{lnx}=(cfrac{1}{t})^2-cfrac{1}{t}=h(t))
(h(t)=(cfrac{1}{t}-cfrac{1}{2})^2-cfrac{1}{4})，
当(cfrac{1}{t}=cfrac{1}{2})，即(t=2=lnx)，即(x=e^2>1)时，(h(t)_{min}=g(x)_{min}=-cfrac{1}{4})，
故实数(a)的取值范围为(aleq -cfrac{1}{4})，即(ain(-infty，-cfrac{1}{4}])。
思路2(导数法)：令(g(x)=cfrac{1-lnx}{ln^2x})，则(g'(x)=cfrac{(1-lnx)'cdot ln^2x-(1-lnx)cdot 2lnxcdot cfrac{1}{x}}{(ln^2x)^2})
(g'(x)=cfrac{-cfrac{1}{x}cdot ln^2x-(1-lnx)cdot cfrac{2}{x}cdot lnx}{ln^4x}=cfrac{-cfrac{1}{x}cdot lnx-cfrac{2}{x}+cfrac{2}{x}cdot lnx}{ln^3x})
(g'(x)=cfrac{cfrac{1}{x}cdot lnx-cfrac{2}{x}}{ln^3x}=cfrac{cfrac{1}{x}(lnx-2)}{ln^3x})
由于(x>1)，故(g'(x))的表达式中的因子(cfrac{1}{x}>0)和分母(ln^3x>0)，故我们到时候解不等式，就可以只解(lnx-2>0(lnx-2<0))，
当然如果我们能借助导函数的部分(y=lnx-2)的图像，就可以直接读出解集来，这也就是数形结合思想给我们的启示。
由图可知当(xin(1，e^2))时，(lnx-2<0)，即(g'(x)<0)；当(x>e^2)时，(lnx-2>0)，即(g'(x)>0)；
故(g'(x))在((1，e^2])上单调递减，在([e^2，+infty))上单调递增；
故(g(x)_{min}=g(e^2)=cfrac{1-lne^2}{(lne^2)^2}=cfrac{1-2}{2^2}=-cfrac{1}{4})，即(aleq -cfrac{1}{4})。
反思：①、求函数(g(x))的最小值时，这两个思路都是比较常用的，不过很明显二次函数法要简单一些。尽可能的防止不好的思维定式，不要一想到求最值就求导，当然求导是一种选择，不过是没有其他办法时的备选方法。
②、(ln^2x)的求导是复合函数的求导，容易出错。((ln^2x)'=2lnxcdot (lnx)'=2lnxcdot cfrac{1}{x}).
③、其他内容请参阅【恒成立等三类命题赏析】 【恒成立命题习题】
(2).若方程((2x-m)lnx+x=0)在区间((1，e])上有两个不相等实根，求实数(m)的取值范围；
分析：这类题目往往需要分离参数，得到形如(m=g(x))的形式，然后转化为函数有两个交点的问题，从而数形结合求解；
由题目分离参数，(2xcdot lnx-mlnx+x=0)，变形整理为(m=cfrac{2xlnx+x}{lnx}=cfrac{x}{lnx}+2x)，
令(h(x)=cfrac{x}{lnx}+2x，xin(1，e])，则往下的思路是想办法在同一个坐标系中做函数(h(x))和函数(y=m)的图像，其中做函数(h(x))的图像一般要用到导数方法，主要是涉及的函数比较复杂，一般方法不能处理。
则(h'(x)=2+cfrac{lnx-1}{ln^2x}=cfrac{2ln^2x+lnx-1}{ln^2x}=cfrac{(lnx+1)(2lnx-1)}{ln^2x})，由于(x>1)，则(lnx+1>0)且(ln^2x>0)，故我们只需要解不等式(2lnx-1>0(2lnx-1<0))就可以求得单调区间；在这里我们自然还可以借助图像，做出导函数的部分函数的图像如右图，
由图可知，(xin (1，sqrt{e}])时，(2lnx-1<0)，(h'(x)<0)，函数(h(x))单调递减；(xin [sqrt{e}，e])时，(2lnx-1>0)，(h'(x)>0)，函数(h(x))单调递增；
又(h(sqrt{e})=2sqrt{e}+cfrac{sqrt{e}}{lnsqrt{e}}=4sqrt{e})；(h(e)=2e+cfrac{e}{lne}=3e)，其中(x=1)是函数(h(x))的渐近线，如右图所示，
由图可知，实数(m)的取值范围为(min (4sqrt{e}，e])。
解后反思：①、函数(h(x))的单调性的求法(一般题目复杂时常常首选导数法)；
②、注意函数图像的作图细节；
③、如果题目变成(m=g(x))有解，则(m)的取值范围就是(g(x))的值域，看看刚才的图形，这一点不需要我多解释了吧。
④、如果题目变成方程(m=g(x))有(n)个解，那更需要数形结合来处理了；因为用代数的方法求解，只能处理简单的方程的情形，复杂一些的只能交给图形来直观观察