前言
首先需要明白,高中数学刻画直线的形式比较多,分别称为直线的点斜式,斜截式,两点式,截距式,一般式,还有参数方程等等;
- 点斜式:(y-y_1=k(x-x_1))(其中(l)过定点(P_1(x_1,y_1)),斜率为(k));
缺陷:不能表示斜率不存在的直线;
- 斜截式:(y=kx+b)((k)是斜率,(b)是(y)截距);
缺陷:不能表示斜率不存在的直线;
- 两点式:(cfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=cfrac{x-x_1}{x_2-x_1}(x_1 eq x_2,y_1 eq y_2))(两点是(P_1(x_1,y_1)、P_2(x_2,y_2))),
缺陷:不能表示斜率不存在的和斜率为0的直线;
- 截距式:(cfrac{x}{a}+cfrac{y}{b}=1(a eq 0,b eq 0))((a,b)分别是横截距和纵截距),
缺陷:不能表示过原点的直线;
- 一般式:(Ax+By+C=0),
没有上述直线方程的缺陷。
同时需要注意,当我们将一般式(Ax+By+C=0),改写为(y=-cfrac{A}{B}x-cfrac{C}{B})时,其实已经压缩一般式的内涵。
直线的一般式中,包含有两种情形:
当(B=0)时,直线变化为(x=-cfrac{C}{A}),此时直线倾斜角为(cfrac{pi}{2}),没有斜率;
当(B eq 0)时,直线变化为(y=-cfrac{A}{B}x-cfrac{C}{B})时,此时直线的斜率为(k=-cfrac{A}{B});
平行关系
应该分直线的不同表达形式来描述直线的平行关系的充要条件;
(Ⅰ).给定直线的斜截式方程:(l_1:) (y=k_1x+b_1);(l_2:) (y=k_2x+b_2);
则(l_1//l_2) (Leftrightarrow) (k_1=k_2)且(b_1 eq b_2),警示这种情形只适用直线有斜率的情形,不适用没有斜率的情形
说明:当(k_1=k_2)且(b_1=b_2)时,我们很容易理解两条直线重合;
(Ⅱ).给定直线的一般式方程:(l_1:) (A_1x+B_1y+C_1=0);(l_2:) (A_2x+B_2y+C_2=0);
则(l_1//l_2) (Leftrightarrow) (A_1B_2-A_2B_1=0)且(C_1B_2-C_2B_1 eq0)
说明:当(cfrac{A_1}{A_2}=cfrac{B_1}{B_2}=cfrac{C_1}{C_2})时,两条直线重合;
那么当(cfrac{A_1}{A_2}=cfrac{B_1}{B_2} eq cfrac{C_1}{C_2})时,两条直线平行;
不过这种形式由于(A eq 0)且(B eq 0),故其没有包含两条直线中的一条没有斜率的情形,
若将分式形式改写为整式形式,就能包括上述漏掉的情形,故(A_1B_2-A_2B_1=0)且(C_1B_2-C_2B_1 eq0)
[此式对于斜率不存在或等于(0)也成立]
垂直关系
应该分直线的不同表达形式来描述直线的垂直关系的充要条件;
(Ⅰ).给定直线的斜截式方程:(l_1:) (y=k_1x+b_1);(l_2:) (y=k_2x+b_2);
则(l_1perp l_2) (Leftrightarrow) (k_1cdot k_2=-1),说明这种情形只适用直线有斜率的情形,不适用没有斜率的情形
(Ⅱ).给定直线的一般式方程:(l_1:) (A_1x+B_1y+C_1=0);(l_2:) (A_2x+B_2y+C_2=0);
则(l_1perp l_2) (Leftrightarrow) (A_1A_2+B_1B_2=0);[此式对于斜率不存在或等于(0)也成立]
说明:仿上述变形,将分式形式的斜率之积等于(-1)改写为整式形式的,自然就能包含斜率不存在或等于(0)的情形。
即(-cfrac{A_1}{B_1} imes (-cfrac{A_2}{B_2})=-1),即(cfrac{A_1A_2}{B_1B_2}=-1),
改写为整式形式,即(A_1A_2+B_1B_2=0);
引申: 当给定 (A(x_1,y_1)) 和 (B(x_2,y_2)),求解或证明 (OAperp OB)时,若用 (k_{_{OA}}cdot k_{_{OB}}=1),需要分类 (k)存在或者 (k) 不存在两种情形讨论,但若是采用向量形式: (x_1x_2)(+)(y_1y_2)(=0) 刻画相互垂直,就可以避免分类讨论;
典例剖析
分析:由题可知,(cfrac{1}{m}=cfrac{m+1}{2} eq cfrac{-2}{4})①,具体求解时我们往往只利用下式求值,
由(cfrac{1}{m}=cfrac{m+1}{2})②,解得(m=1)或(m=-2),由于刚才扩大了范围,故此时需要代入①式验证,
验证得到(m=-2)时不符,故(m=1),则选(A)。
反思:满足②式的解不见得就一定满足①式,故不要忘记验证。补充直线平行或垂直的充要条件。
①若命题(p:exists x_{0}in R),( an x_{0}=1);命题(q:forall x in R),(x^{2}-x+1>0);则命题“(p wedge( eg q)”)是假命题;
②已知直线(l_{1}:ax+3y-1=0),(l_{2}:x+by+1=0),则(l_{1}perp l_{2})的充要条件是(cfrac{a}{b}=-3);
③命题“若(x^{2}-3x+2=0),则 (x=1)"的逆否命题是“若(x eq 1),则(x^{2}-3x+2 eq 0);
其中正确结论的序号为___________.
解析: ①中命题(p)为真命题,命题(q)为真命题,所以(pwedge( eg q))为假命题, 故①正确;
②中当(b=a=0)时,有(l_{1}perp l_{2}),故②不正确;
③显然正确;所以正确结论的序号为①③;
说明:其实②中,(l_{1}perp l_{2})的充要条件是(a+3b=0);
解:由(l_1perp l_2),得到(2(m+1)(m-3)+2(m-3)=0),解得,(m=3)或(m=-2),
所以(m=3)是(l_1perp l_2)的充分不必要条件,故选(A).
分析:当(m=2)时,代入两个直线方程,容易知道两直线平行,即充分性成立;
当(l_1//l_2),显然(m eq 0),否则不会有(l_1//l_2),
从而有(2 imes(-1)-(-m)(m-1)=0),即(m^2-m-2=0),解得(m=2)或(m=-1),
但是当(m=-1)时,两条直线重合,故舍去,即必要性成立,故选(C).