前言
用函数(f(x))的导函数(f'(x))的正负，我们基本就能研究清楚原函数(f(x))的单调性，也就知道了函数的图像的大致走向，如果还想知道函数性质中的更细节的情形，就需要继续研究，研究函数的极值和函数的最值。举个例子，比如一个班级有(4)个小组，我想知道每一个小组中的颜值最高的学生是谁，颜值最低的学生是谁，那么此时的研究范围就是整个班级的一个子集，此时颜值最高[或最低]的学生的颜值情况就类比函数的极大值[或极小值]，具体的学生就类比为极大值点[或极小值点]，她只是一个小范围内的比较结果；如果在整个班级内比较，颜值最高[或最低]的学生，即类比为函数的最大值点[或最小值点]，他们的颜值的具体情况就类比为函数的最大值[或最小值]。精简而准确的数学语言表述如下：
函数极值
极大值，括号内为了好理解添加的生活实例，去掉这些内容，就是严格的数学定义；
设(x_0)为函数(y=f(x))的定义域内[全部范围研究学生的颜值]的一点，如果对(x_0)附近[一个小组内的学生]所有的(x)都满足(f(x)leqslant f(x_0))[有个学生(x_0)的颜值(f(x_0))比组内的其他学生的颜值都高，理想状态下，没有两个颜值一样高的情形，取等号的意思是(x)包含(x_0)]，则称函数(f(x))在(x_0)[学生(x_0)]处取到极大值(f(x_0))[颜值的高低情况我们可以类比打分来理解；在这个组内颜值最高，在班级内不一定最高]，称(x_0)为函数(f(x))的一个极大值点。
极小值，括号内为了好理解添加的生活实例，去掉这些内容，就是严格的数学定义；
设(x_0)为函数(y=f(x))的定义域内[全部范围研究学生的颜值]的一点，如果对(x_0)附近[一个小组内的学生]所有的(x)都满足(f(x)geqslant f(x_0))[有个学生(x_0)的颜值(f(x_0))比组内的其他学生的颜值都低，理想状态下，没有两个颜值一样低的情形，取等号的意思是(x)包含(x_0)]，则称函数(f(x))在(x_0)[学生(x_0)]处取到极小值(f(x_0))[颜值的高低情况我们可以类比打分来理解；在这个组内颜值最低，在班级内不一定最低]，称(x_0)为函数(f(x))的一个极大值点。
如上图所示，函数(f(x))的极大值点[是横轴的取值，不是纵轴的取值]有(x_0)，(x_2)，(x_4)，对应的极大值[是纵轴的取值，不是横轴的取值]有(f(x_0))，(f(x_2))，(f(x_4))；
函数(f(x))的极小值点[是横轴的取值，不是纵轴的取值]有(x_1)，(x_3)，对应的极小值[是纵轴的取值，不是横轴的取值]有(f(x_1))，(f(x_3))；
研究抓手
就像我们要给学生的颜值打分，自然必须要求其素颜，不能化妆，所以一般借助原函数(f(x))的导函数(f'(x))的正负来研究其单调性和极值情况。