前言
在求解直线与圆相交得到的弦的长度问题时，可以采用的思路很多：①利用几何方法，即利用弦心距、半弦长、半径组成的(Rt riangle)来求解决；②弦长公式，即(|AB|=sqrt{1+k^2}cdot |x_1-x_2|)来求解；③利用直线的参数方程的参数的几何意义来求解；
思路引申
当涉及到的是直线和圆时，此时思路①最简单快捷；但是从思路可移植的角度来思考[比如问题变化为直线和圆锥曲线相交得到的弦长问题]，思路③应该是最值得掌握的思路，此时思路①已经不能用了，思路②的运算量往往比较大，容易出错；
但思路③有个问题，在使用直线的参数方程时，必须要检验其是参数方程的标准形式，否则结果往往会出错；在此有两个问题：其一，为什么使用直线的参数方程的几何意义求弦长问题简单？其二，为什么必须将直线的参数方程的非标准形式转化为标准形式？
问题解析
预备知识：
- 借助一维数轴来理解(t)的几何意义
我们知道，一维数轴上的点和实数是一一对应的，如图所示，水平放置的数轴，其上的点(A)、(O)、(B)、(C)、(D)分别代表实数(-2)，(0)，(1)，(2)，(3)；动点对应的实数标记为(t)，那么(t=2)就对应点(C)，(t=-2)就对应点(A)，(t=0)就对应点(O)，(t=1)就对应点(B)，当变量(t)取遍所有的实数，那么动点就能代表数轴上所有的实数。这时候实数(t)就是数轴上的动点的一维坐标。
作用：此时若求线段的长度，则线段(AB=|t_A-t_B|=|-2-1|=3);线段(BD=)(|t_B-t_D|)(=|1-3|)(=2);
接下来，我们利用如下的参数方程[已经是标准形式]来求线段长或弦长；
在平面直角坐标系(xOy)中，直线(l)的参数方程为(left{egin{array}{l}{x=2+cfrac{sqrt{2}}{2}t}\{y=1+cfrac{sqrt{2}}{2}t}end{array} ight.)((t)为参数)，
问题1：为什么使用直线的参数方程的几何意义求弦长问题简单？
当(t_0=0)时，其对于点(P_0(2，1))；当(t_1=1)时，其对于点(P_1(2+cfrac{sqrt{2}}{2}，1+cfrac{sqrt{2}}{2}))；
此时求线段(|P_0P_1|)的长度，可以用如下的两个思路来求解：
思路①：(|P_0P_1|=sqrt{(2+cfrac{sqrt{2}}{2}-2)^2+(1+cfrac{sqrt{2}}{2}-1)^2}=sqrt{(cfrac{sqrt{2}}{2})^2+(cfrac{sqrt{2}}{2})^2}=1)；
思路②：(|P_0P_1|=|t_0-t_1|=|0-1|=1)；
很显然，思路②的运算简单的多，只是好些同学不懂得为什么要这样计算？
很显然，思路①采用的是两个点的二维坐标来运算，而思路①是利用两个点的一维坐标来计算，如上图所示，点(P_0)类似于数轴中的原点，那么点(P_1)是数轴右方的第一个单位点，点(P_2)是数轴右方的第二个单位点，故(|P_0P_1|)的长应该是一个单位。故利用一维坐标肯定比二维坐标计算量要小。
问题2：为什么必须将直线的参数方程的非标准形式转化为标准形式？
预备知识：在平面直角坐标系(xoy)中，直线(l)的参数方程为(left{egin{array}{l}{x=2+t}\{y=1+2t}end{array} ight.)((t)为参数)，
如上图所示，当(t_0=0)时，对应上图中的点(A(2,1))，当(t_1=1)时，对应上图中的点(B(3,3))，
此时(|AB|=sqrt{(2-3)^2+(1-3)^2}=sqrt{5})；其长度不是一个单位长，故其不是参数方程的标准形式，
在教学实践中，我们常用参数(t)前面的两个系数的平方和是否等于(1)来判断是否为标准形式；
如上，(1^2+2^2=5 eq 1)，故上述的参数方程不是标准形式。
如果直线的参数方程不是标准形式，则其参数(t)的几何意义就不是动点到定点的有向线段的数量，类似于我们不用标准的米尺测量人的身高，则测量的身高数据一定是不准确的；故使用前必须保证其为标准形式；
那么，如何将参数方程的非标准形式转化为标准形式呢，请参照下述例题中的具体解法来体会。
- 非标准形式化为标准形式的思路
(egin{cases}x=x_0+at=x_0+cfrac{a}{sqrt{a^2+b^2}}cdot sqrt{a^2+b^2}t \y=y_0+bt=y_0+cfrac{b}{sqrt{a^2+b^2}}cdot sqrt{a^2+b^2}tend{cases}(t为参数))，
再令(sqrt{a^2+b^2}t=m)，则得到(egin{cases}x=x_0+cos heta m\y=y_0+sin heta mend{cases}(m为参数))，这才是标准形式；
此时的参数(m)的几何意义才是定点到动点的有向线段的数量。
案例分析
(1)、 求(odot C)的参数方程；
分析：将( ho^2=x^2+y^2)，(y= hocdot sin heta)，代入(odot C)的极坐标方程( ho^2-4 ho sin heta-12=0)，
得到(odot C)的直角坐标方程为(x^2+y^2-4y-12=0)，即(x^2+(y-2)^2=16=4^2)，
故(odot C)的参数方程为(left{egin{array}{l}{x=4cos heta}\{y=2+4sin heta}end{array} ight.) (( heta)为参数，( hetain [0，2pi)))。
(2)、求直线(l)被(odot C)截得的弦长。
【法1】几何方法，利用(RtDelta)求解，将直线(l)的参数方程消参，得到其普通方程为(2x-y-3=0)，
则圆心((0，2))到直线的距离为(d=cfrac{|-2-3|}{sqrt{2^2+1^2}}=sqrt{5})，
则直线(l)被(odot C)截得的弦长为(2sqrt{r^2-d^2}=2sqrt{4^2-(sqrt{5})^2}=2sqrt{11})。
【法2】弦长公式，设直线和圆的交点为(A(x_1，y_1)，B(x_2，y_2))，
联立得到方程组，(left{egin{array}{l}{2x-y-3=0}\{x^2+y^2-4y-12=0}end{array} ight.)
消去(y)得到，(x^2+(2x-3)^2-4(2x-3)-12=0)，整理得到，(5x^2-20x+9=0)，
由韦达定理得到，(x_1+x_2=4)，(x_1x_2=cfrac{9}{5})，
由弦长公式得到，(|AB|=sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|)(=sqrt{1+2^2}sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2})
(=sqrt{5}sqrt{16-cfrac{36}{5}}=2sqrt{11})。
【法3】利用直线的参数方程求解，需要先判断参数方程是否为标准形式；若不是，还需要转化为标准形式。
直线(l)的参数方程为(left{egin{array}{l}{x=2+t}\{y=1+2t}end{array} ight.(t为参数))，
(此时千万要注意，弦长(|AB| eq |t_1-t_2|)，原因是这个参数方程不是标准形式的)
将其做如下的转化，
(left{egin{array}{l}{x=2+cfrac{1}{sqrt{5}}cdot sqrt{5}t}\{y=1+cfrac{2}{sqrt{5}}cdot sqrt{5}t}end{array} ight.(t为参数))，
令(sqrt{5}t=m)，则其参数方程的标准形式为
(left{egin{array}{l}{x=2+cfrac{1}{sqrt{5}}cdot m}\{y=1+cfrac{2}{sqrt{5}}cdot m}end{array} ight.(m为参数))，
[此时参数(m)的几何意义才是动点到定点的距离的数量，千万要注意，即弦长(|AB|=|m_1-m_2|)]
将直线(l)的参数方程的标准形式代入圆的普通方程得到，
((2+cfrac{1}{sqrt{5}}m)^2+(1+cfrac{2}{sqrt{5}}m)^2-4(1+cfrac{2}{sqrt{5}}m)-12=0)
整理为(m^2-11=0)，令直线和圆的两个交点(A，B)分别对应的参数为(m_1，m_2)，
则(m_1+m_2=0)，(m_1m_2=-11)，
此时弦长(|AB|=|m_1-m_2|=sqrt{(m_1+m_2)^2-4m_1m_2}=sqrt{4 imes 11}=2sqrt{11})。
解后反思：
- 非标准形式化为标准形式的思路
(egin{cases}x=x_0+at=x_0+cfrac{a}{sqrt{a^2+b^2}}cdot sqrt{a^2+b^2}t \y=y_0+bt=y_0+cfrac{b}{sqrt{a^2+b^2}}cdot sqrt{a^2+b^2}tend{cases}(t为参数))，
再令(sqrt{a^2+b^2}t=m)，则得到(egin{cases}x=x_0+cos heta m\y=y_0+sin heta mend{cases}(m为参数))，这才是标准形式；
此时的参数(m)的几何意义才是定点到动点的有向线段的数量。