探究|和事件的概率

前言

当事件(A)，(B)互斥时，(P(A+B)=P(A)+P(B))；

当事件(A)，(B)不互斥时，(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB))；

当事件(A)，(B)相互独立时，(P(A+B)=1-P(ar{A})P(ar{B}))；

例1现有甲乙两台机器，已知甲出故障的概率为(0.9)，乙出故障的概率为(0.85)，两个同时出故障的概率为(0.8)，那么两台机器中至少有一台出故障的概率为多少？

【法1】：[网上解法，我们也认同这种解法]设“甲出故障”为事件(A)，“乙出故障”为事件(B)，

则(P(A)=0.9)，(P(B)=0.85)，(P(AB)=0.8)，

则“两台机器中至少有一台出故障”意味着甲机器出故障或者乙机器出故障，故可以表示为事件(A+B)，

由于事件(A)，(B)不是互斥关系，故(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB))

故(P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9+0.85-0.8=0.95)；

【法2】：[网上解法，是错误的解法，但是很容易滑入这样的思路求解]

设“甲出故障”为事件(A)，“乙出故障”为事件(B)，

则(P(A)=0.9)，(P(B)=0.85)，(P(AB)=0.8)，

由于甲、乙两台机器出故障相互独立，故事件(A)，(B)相互独立，

则“两台机器中至少有一台出故障”意味着甲机器出故障或者乙机器出故障，故可以表示为事件(A+B)，

故(P(A+B)=1-[1-P(A)][1-P(B)]=1-(1-0.9)(1-0.85)=0.985)；

这种解法是错误的，可以结合下述的解法理解其错误的原因；

【法3】：或解为，(P(A+B)=P(ar{A}B+Aar{B}+AB)=P(ar{A}B)+P(Aar{B})+P(AB))

(=(1-0.9)cdot 0.85+0.9cdot(1-0.85)+0.9cdot 0.85=0.985)；

但是若利用题目中的(P(AB)=0.8)，会得到

(P(A+B)=P(ar{A}B+Aar{B}+AB)=P(ar{A}B)+P(Aar{B})+P(AB))

(=(1-0.9)cdot 0.85+0.9cdot(1-0.85)+0.8=1.02)；出现矛盾，故解法错误，

其实从题目中就可以看出来，(P(A)cdot P(B)=0.9 imes 0.85 eq P(AB)=0.8)，故二者的关系不是相互独立的。

解后反思：①利用相互独立的充要条件(P(A)P(B)=P(AB))，就可以判断两个事件的关系是否为相互独立的。

②当用加号相联得到事件(A+B)，并不意味着两个事件的关系就是互斥的，可能互斥，也可能不互斥，也可能相互独立；

③同理，用乘号相联得到的事件(Acdot B)，并不意味着两个事件的关系就是相互独立的；