前言
以下的这些求数列的通项公式的方法都比较小众，不是主流的高考考查方法，在此只是作以整理；
不动点法
山东的一位老师提供，不动点法说明：【百度】
若(f(x)=x)，则称(x)为方程的不动点；
令(x=cfrac{1}{2}(x+cfrac{1}{x}))，则(x^2=1)，解得(x=pm 1)是(f(x)=cfrac{1}{2}(x+cfrac{1}{x}))的两个不动点；
分析：(cfrac{a_{n+1}+1}{a_{n+1}-1}=cfrac{frac{1}{2}cdot frac{a_n^2+1}{a_n}+1}{frac{1}{2}cdot frac{a_n^2+1}{a_n}-1}=cfrac{a_n^2+2a_n+1}{a_n^2+2a_n+1}=ig(cfrac{a_n+1}{a_n-1}ig)^2)，
令(b_{n+1}=cfrac{a_{n+1}+1}{a_{n+1}-1})，则上述表达式变形为(b_{n+1}=b_n^2)，
对上式两边同时取常用对数，得到(lg b_{n+1}=2lg b_n)，
又由于(b_1=cfrac{a_{1}+1}{a_{1}-1}=cfrac{2+1}{2-1}=3)，则(lgb_1=lg3)，
则数列({lg b_n})为等比数列，首项为(lg3)，公比为(2)，
故有(lg b_n=(lgb_1)cdot 2^{n-1}=(lg3)cdot 2^{n-1}=2^{n-1}lg3=lg3^{2^{n-1}})，
故(b_n= 3^{2^{n-1}})，即(cfrac{a_n+1}{a_n-1}= 3^{2^{n-1}})，
解得，(a_n=cfrac{3^{2^{n-1}}+1}{3^{2^{n-1}}-1})；
其他方法
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赋值法，如(a_{n+m}=a_ncdot a_m)，令(m=1)即(a_{n+1}=a_1cdot a_n)，不就是等比数列嘛；
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赋值法，如(a_{n+m}=a_n+a_m)，令(m=1)即(a_{n+1}=a_n+a_1)，不就是等差数列嘛；
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取对数法，如$a_{n+1}=pcdot a_n^m $，p，m 为常数，两边取对数构造等比数列。(考查概率很小很小)
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解方程法，如(a_n^2-2ncdot a_n - 1 = 0)，(a_n>0)，解方程即可。 (考查概率很小很小)