博文由来
在最近的组卷中,看到这样一个题目[来源于数学难卷],大概思考了其解法过程,颇有感触,作以记录;
解题过程
分析:由于命题(“exists xin (0,2]),不等式(e^{2x}+e^{-2x}-a(e^x-e^{-x})<0”)为假命题,
则上述命题的否定[不是否命题]一定为真命题;
即命题(“forall xin (0,2]),不等式(e^{2x}+e^{-2x}-a(e^x-e^{-x})geqslant 0”)为真命题,
即不等式(e^{2x}+e^{-2x}-a(e^x-e^{-x})geqslant 0)对(forall xin (0,2])恒成立,
〔这样我们自然会思考,如果能分离参数(a),则接下来问题的求解就顺的多了,观察发现,可以考虑使用换元法〕
令(e^x-e^{-x}=t),则由(y=e^x-e^{-x})在(xin (0,2])上是增函数,可知(tin (0,e^2-e^{-2}]),
又由于((e^x-e^{-x})^2=t^2),即(e^{2x}-2+e^{-2x}=t^2),则(e^{2x}+e^{-2x}=t^2+2),
这样问题转化为(t^2+2-atgeqslant 0)对(tin (0,e^2-e^{-2}])恒成立,
分离参数得到,(aleqslant cfrac{t^2+2}{t}=t+cfrac{2}{t})对(tin (0,e^2-e^{-2}])恒成立,
令(g(t)=t+cfrac{2}{t}),则需要求在(tin (0,e^2-e^{-2}])上的(g(t)_{min});
由于(g'(t)=1-cfrac{2}{t^2}),故当(tin (0,sqrt{2}])时,(g'(t)<0),函数(g(t))单调递减;
当(tin [sqrt{2},2sqrt{2}))时,(g'(t)>0),函数(g(t))单调递增;
故当(tin (0,e^2-e^{-2}])时,(g(t)_{min}=g(sqrt{2})=2sqrt{2}),
则(aleqslant 2sqrt{2}),即选(B).
需要积累
以下内容是顺利解决此问题需要的最少储备,用相关的关键词,你可以在本博客中继续搜索,深入学习;
①命题的真假判断和转化,命题的否定;
②换元法,题目求解中为什么需要换元法,如何换元,平时如何积累;
③恒成立模型和恒成立命题,哪些命题都可以转化为恒成立命题,转化后如何求解;
④分离参数法,为什么要分离参数,如何分离参数,;
⑤常用函数的积累,哪些函数是比较常用的函数,都需要积累函数的声明性质,如何积累;
(h(x)=e^xpm e^{-x})的奇偶性和单调性以及图像;(f(x)=xpm cfrac{k}{x}(k>0))的奇偶性和单调性以及图像;
难易梯度
以下的题目是按照函数的难以程度,题目涉及到的知识点的多少排列,其求解难度也是由易到难;
命题思考
作为高考数学的教学者和学习者,我们的主要任务是通过平时的学习和多次模拟练习,完成高考题目的破局;命题人是设局者,我们是破局者,那么研究设局者的思考模式,对于我们顺利破局是有帮助的;而老师又同时身兼破局者和设局者双重身份,在平时的考练中是设局者的身份;在高考题目解答中,又身兼引导学生破局的身份;
由上述案例,我们大体可以猜测和把握命题人的命题模式和方向,考查的主体知识必然都是老师们平时多次强调的高频考查点,但是在具体组织题目时,可以根据题目所处的位置和难度要求,采用组合式命题方法,添加不同的知识点,以适当控制题目的难度。
平时考练中,精心设局,讲评中引导学生破局;
高考备考中,拨云见月,顺利破局;