二轮辅测|高三文数检测题04[三角函数与解三角形02]

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高三文数二轮专题检测题04讲析[三角函数与解三角形02]录制

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题目详解

难点解析

例6【2020高三文数二轮专题用题】已知( hetain [0,pi))，若对于任意的(xin [-1,0])，不等式(x^2cos heta)(+(x+1)^2sin heta)(+x^2+x>0)恒成立，则实数( heta)的取值范围是【】

$A.(cfrac{pi}{12}，cfrac{5pi}{12})$ $B.(cfrac{pi}{6}，cfrac{pi}{4})$ $C.(cfrac{pi}{4}，cfrac{3pi}{4})$ $D.(cfrac{pi}{6}，cfrac{5pi}{6})$

分析：先将不等式转化为((sin heta+cos heta+1)x^2+(2sin heta+1)x+sin heta>0)，

为了便于表达，令(f(x)=(sin heta+cos heta+1)x^2+(2sin heta+1)x+sin heta)，

则问题转化为(f(x)>0)在(xin [-1，0])上恒成立，

由于(sin heta+cos heta+1=sqrt{2}sin( heta+cfrac{pi}{4})+1in(0,sqrt{2}+1])，

故(sin heta+cos heta+1>0)在( hetain [0，pi))上恒成立，

故开口向上，且对称轴(x_0=-cfrac{2sin heta+1}{2(sin heta+cos heta+1)}<0)

本来我们需要考虑三种情形，但是由于(f(0)=sin hetain [0，1])，对称轴(x_0<0)，

结合这些情形，可以只考虑(left{egin{array}{l}{f(-1)>0}\{f(0)>0}\{f(x_0)>0}end{array} ight.)即可，

由(f(-1)>0)得到，(cos heta>0)，由(f(0)>0)得到，(sin heta>0)，即(0< heta<cfrac{pi}{2})，故可以排除(C)，(D)两个选项了；

难点是化简(f(x_0)>0)，以下作以重点说明，

(f(x_0)=f(-cfrac{2sin heta+1}{2(sin heta+cos heta+1)}))

$=(sin heta+cos heta+1) imes[-cfrac{2sin heta+1}{2(sin heta+cos heta+1)}]^2+(2sin heta+1) imes [-cfrac{2sin heta+1}{2(sin heta+cos heta+1)}]+sin heta $

(=cfrac{(2sin heta+1)^2}{4(sin heta+cos heta+1)}-cfrac{(2sin heta+1)^2}{2(sin heta+cos heta+1)}+sin heta)

(=cfrac{-(2sin heta+1)^2}{4(sin heta+cos heta+1)}+sin heta)

(=cfrac{-4sin^2 heta-4sin heta-1+sin heta[4(sin heta+cos heta+1)]}{4(sin heta+cos heta+1)})

(=cfrac{4sin heta cos heta-1}{4(sin heta+cos heta+1)}=cfrac{2sin2 heta-1}{4(sin heta+cos heta+1)}>0)，

即(sin2 heta>cfrac{1}{2})，故(cfrac{pi}{6}<2 heta<cfrac{5pi}{6})，即(cfrac{pi}{12}< heta<cfrac{5pi}{12})

结合(0< heta<cfrac{pi}{2})，可得(cfrac{pi}{12}< heta<cfrac{5pi}{12})，故选(A)。

例2如图(A)，(B)为半径为(2)的圆周上的定点，(P)为圆周上的动点，(angle APB)是锐角，大小为(eta)，图中阴影部分的面积的最大值为【】

$A.4eta+4coseta$ $B.4eta+4sineta$ $C.2eta+2coseta$ $D.2eta+4sineta$

分析：本题目需要用到动态的观点来考虑，由于(angle APB)是锐角，故点(P)只能在优弧(overset{frown}{AB})上运动，从下图中可以看出，当(P)位于优弧(overset{frown}{AB})的中点时，阴影部分的面积为最大；

此时(S_{ riangle AOP}=S_{ riangle BOP}=cfrac{1}{2}|OA||OP|sin(pi-eta)=cfrac{1}{2} imes 2^2 imes sineta=2sineta)，

(S_{扇形AOB}=cfrac{1}{2}cdot lcdot r=cfrac{1}{2} imes heta imes r^2=cfrac{1}{2} imes 2eta imes 4=4eta)，

故(S_{阴影}=S_{扇形AOB}+2S_{ riangle AOP}=4eta+4sineta)，故选(B).