前言
有空了再编辑补充;未完待续;
题型结构
形如:题目给定了某函数(f(x)=cfrac{ax^2+x-1}{e^x}),证明:当(age 1)时,(f(x)+ege 0)。
思路总结
1、利用不等式性质,消化掉题目中的参数;
2、利用左右相减做差构造新函数,证明新函数的最值;
3、若能分离参数,利用恒成立命题求解参数的取值范围,此范围只要包括(D)即可。
4、欲证明(f(x)geqslant g(x)),只需要证明(f(x)_{min}geqslant g(x)_{max}),但是这个思路有一定的局限性,并不是一个通用思路。[1]
典例剖析
(1).设(x=2)是(f(x))的极值点,求(a),并求(f(x))的单调区间。
分析:(f'(x)=ae^x-cfrac{1}{x}),由(f'(2)=0),解得(a=cfrac{1}{2e^2});
即(f(x)=cfrac{e^x}{2e^2}-lnx-1);下面求单调区间,定义域是((0,+infty)),
[法1]:(f'(x)=cfrac{e^x}{2e^2}-cfrac{1}{x}=cfrac{1}{2e^2}cdot cfrac{xe^x-2e^2}{x})
到此,结合题目给定的(f'(2)=0),猜想验证,写出结果,
当(0< x <2)时,(f'(x )<0),当(x >2)时,(f'(x) >0),
故单调递减区间是((0,2)),单调递增区间是((2,+infty));
[法2]:令(f'(x)>0),即(cfrac{e^x}{2e^2}>cfrac{1}{x}),即(xe^x-2e^2>0),观察可得,(x >2)
同理,令(f'(x)<0),可得(0< x < 2),
故单调递减区间是((0,2)),单调递增区间是((2,+infty));
(2).证明(age cfrac{1}{e})时,(f(x)ge 0)。
[法1]:已知题目(age cfrac{1}{e})是(f(x)ge 0)的充分条件,转化为求(f(x)ge 0)恒成立时,求解(a)的取值范围,即必要条件。
由题目(f(x)ge 0)可知,(ae^x-lnx-1 ge 0),即(ae^xge lnx+1),
分离参数得到(age cfrac{lnx+1}{e^x})恒成立,
令(h(x)= cfrac{lnx+1}{e^x}),只需要求得(h(x)_{max}),
(h'(x)=cfrac{cfrac{1}{x}e^x-(lnx+1)e^x}{(e^x)^2}=cfrac{cfrac{1}{x}-lnx-1}{e^x})
(=cfrac{1}{e^x}cdot cfrac{(1-x)-xcdot lnx}{x}),解题经验[2]
当(0<x<1)时,(h'(x)>0),(h(x))单调递增,
当(x>1)时,(h'(x)<0),(h(x))单调递减,
故(x=1)时,函数(h(x)_{max}=h(1)=cfrac{1}{e}),
即(ageqslant cfrac{1}{e}),也就是说
当(age cfrac{1}{e})时,必然能得到(f(x)ge 0),证毕。
小结:1、本题转而求(f'(x)ge 0)的必要条件。2、注意含有(lnx)或(ln(x+1))的表达式的分点的尝试,其实质是数学中的观察法。
[法2]:利用不等式性质,先将参数设法消化,
当(age cfrac{1}{e})时,(f(x)ge cfrac{e^x}{e}-lnx-1=g(x)),
此时只需要说明(g(x)_{min}ge 0)即可。
当(age cfrac{1}{e})时,(f(x)ge cfrac{e^x}{e}-lnx-1),
设(g(x)=cfrac{e^x}{e}-lnx-1),则(g'(x)=cfrac{e^x}{e}-cfrac{1}{x}=cfrac{1}{e}cdot cfrac{xe^x-1cdot e^1}{x}),
故用观察法容易得到
(0< x <1)时,(g'(x)<0),(x > 1)时,(g'(x)>0),
即(x=1)是函数(g(x))的最小值点,则(x>0)时,(g(x)ge g(1)=0),
故(age cfrac{1}{e})时,(f(x)ge 0)。
(1).求曲线(y=f(x))在点((0,-1))处的切线方程。
分析:(f'(x)=cfrac{(2ax+1)e^x-(ax^2+x-1)e^x}{(e^x)^2}=cfrac{-ax^2+2ax-x+2}{e^x})
由(f'(0)=2),故由点斜式得到切线方程为(y-(-1)=2(x-0)),即(2x-y-2=0)。
(2).证明:当(age 1)时,(f(x)+ege 0)。
证明:当(age 1)时,则有(ax^2+x-1geqslant x^2+x-1),
则有(cfrac{ax^2+x-1}{e^x}+egeqslant cfrac{x^2+x-1}{e^x}+e=cfrac{x^2+x-1+e^{x+1}}{e^x}=(x^2+x-1+e^{x+1})cdot e^{-x})
即(f(x)+egeqslant (x^2+x-1+e^{x+1})cdot e^{-x}),
由于(e^{-x}>0)恒成立,故可以考虑甩掉她,转化为证明(x^2+x-1+e^{x+1}geqslant 0)即可;
令(g(x)=x^2+x-1+e^{x+1}),则(g'(x)=2x+1+e^{x+1}),解题经验[3]
当(x<-1)时,(g'(x)<0),(g(x))单调递减,当(x>-1)时,(g'(x)>0),(g(x))单调递增,
故(g(x)_{min}=g(-1)=0),故有(g(x)ge g(-1)=0)
则(g(x)cdot e^{-x}ge g(-1)cdot e^{-x}=0),即(f(x)+ege 0)。
【解后反思】利用不等式性质,将参数的取值范围消化,然后问题转化为不含参数的不等式恒成立问题,再设法求新函数的最值。
(1).讨论(f(x))的单调性;
分析:由题意可得,函数的定义域为((0,+infty)),(f'(x)=a-cfrac{1}{x}=cfrac{ax-1}{x}),
[借助分子函数(y=ax-1)的动态图像,我们很容易写出如下结果,注意分子函数恒过定点((0,-1))]
①当(aleqslant 0)时,由于(f'(x)<0)恒成立,则(f(x))在((0,+infty))上单调递减;
②当(a>0)时,令(f'(x)=0),则(x=cfrac{1}{a}),
故当(xin (0,+cfrac{1}{a}))时,(f'(x)<0),(f(x))单调递减,
当(xin (cfrac{1}{a},+infty))时,(f'(x)>0),(f(x))单调递增,
综上所述,当(aleqslant 0)时,(f(x))在((0,+infty))上单调递减;
当(a>0)时,(f(x))在((0,cfrac{1}{a}))上单调递减,在((cfrac{1}{a},+infty))上单调递增。
(2).若(ain (-infty,-cfrac{1}{e^2}]),求证:(f(x)geqslant 2ax-xe^{ax-1}).
分析:采用常规思路,用两端作差构造新函数,说明新函数的最小值大于等于零即可;
令(g(x)=f(x)-2ax+xe^{ax-1}=xe^{ax-1}-ax-lnx),
则(g'(x)=e^{ax-1}+axe^{ax-1}-a-cfrac{1}{x}=e^{ax-1}+axe^{ax-1}-cfrac{ax+1}{x})
(=e^{ax-1}(ax+1)-cfrac{ax+1}{x}=(ax+1)(e^{ax-1}-cfrac{1}{x})=cfrac{(ax+1)(xe^{ax-1}-1)}{x})
设(r(x)=xe^{ax-1}-1),则(r'(x)=(1+ax)e^{ax-1}),由于(e^{ax-1}>0)恒成立,现在(a<0)
则当(xin (0,-cfrac{1}{a}))时,(r'(x)>0),(r(x))单调递增;当(xin (-cfrac{1}{a},+infty))时,(r'(x)<0),(r(x))单调递减;
则(r(x)_{max}=r(-cfrac{1}{a})=-(cfrac{1}{ae^2}+1)leqslant 0) [4]
即(e^{ax-1}-cfrac{1}{x}leqslant 0),则(g'(x))的正负只取决于因子(ax+1)的正负,其正负的判断和上述第一问中的做法是一致的,
故(g(x))在((0,-cfrac{1}{a}))上单调递减,在((-cfrac{1}{a},+infty))上单调递增,
则(g(x)_{min}=g(-cfrac{1}{a})=(xe^{ax-1}-ax-lnx)|_{x=-frac{1}{a}}=-cfrac{1}{a}e^{-2}+1-ln(-cfrac{1}{a})),
此处为便于研究其最值,换元处理,这样函数就能简单一些;
令(t=-cfrac{1}{a}),则由(aleqslant -cfrac{1}{e^2}),则(-e^2leqslant cfrac{1}{a}<0),
则(0<-cfrac{1}{a}leqslant e^2),即(tin (0,e^2]),
则(g(-cfrac{1}{a})=h(t)=cfrac{t}{e^2}-lnt+1(0<tleqslant e^2)),
(h'(t)=cfrac{1}{e^2}-cfrac{1}{t}leqslant 0),则函数(h(t))在区间((0,e^2])上单调递减,
则(h(t)_{min}=h(e^2)=1-2+1=0),即(g(x)_{min}=0),
故(g(x)geqslant 0),即(f(x)-2ax+xe^{ax-1}geqslant 0),
也即(f(x)geqslant 2ax-xe^{ax-1}),证毕。
[解后反思]:判断(e^{ax-1}-cfrac{1}{x})的符合时,还可以使用如下的思路:
由(e^{ax-1}-cfrac{1}{x}=0),解得(a=cfrac{1-lnx}{x}),设(p(x)=cfrac{1-lnx}{x}),则(p'(x)=cfrac{lnx-2}{x^2})
当(x>e^2)时,(p'(x)>0),则(p(x))单调递增,当(0<x<e^2)时,(p'(x)<0),则(p(x))单调递减;
则(p(x)_{min}=p(e^2)=-cfrac{1}{e^2}),由题目(aleqslant -cfrac{1}{e^2}),
则(aleqslant cfrac{1-lnx}{x}),整理变形得到,(e^{ax-1}-cfrac{1}{x}leqslant 0)。
(1).讨论(f(x))的单调性;
分析:定义域为((0,+infty)),(f'(x)=2bx+cfrac{a}{x}),则(f'(1)=2b+a=a+2),
解得(b=1),(f'(x)=2x+cfrac{a}{x}=cfrac{2x^2+a}{x}(x>0)),
当(ageqslant 0)时,(f'(x)>0),(f(x))在((0,+infty))上单调递增;
当(a<0)时,令(f'(x)=0),则(x=sqrt{-cfrac{a}{2}})(舍去负值),
则当(xin (0,sqrt{-cfrac{a}{2}}))时,(f'(x)<0),(f(x))单调递减,
当(xin (sqrt{-cfrac{a}{2}},+infty))时,(f'(x)>0),(f(x))单调递增,
综上所述,略。
(2).当(0<aleqslant cfrac{e}{2}),证明:(f(x)<x^2+cfrac{2}{x}e^{x-2});
证明:要证明(f(x)<x^2+cfrac{2}{x}e^{x-2}),即需要证明(alnx<cfrac{2e^{x-2}}{x})
即只需要证明(cfrac{alnx}{x}<cfrac{2e^{x-2}}{x^2}),[5]
令(g(x)=cfrac{alnx}{x}(0<aleqslant cfrac{e}{2})),
则(g'(x)=cfrac{a(1-lnx)}{x^2}),
当(xin (0,e))时,(g'(x)>0),则(g(x))单调递增,
当(xin (e,+infty))时,(g'(x)<0),则(g(x))单调递减,
故(g(x)_{max}=g(e)=cfrac{a}{e});
令(h(x)=cfrac{2e^{x-2}}{x^2}(x>0)),则(h'(x)=cfrac{2e^{x-2}(x-2)}{x^3})
当(xin (0,2))时,(h'(x)<0),则(h(x))单调递减,
当(xin (2,+infty))时,(h'(x)>0),则(h(x))单调递增,
故(h(x)_{min}=h(2)=cfrac{1}{2}),
由于(0<a<cfrac{e}{2}),则有(g(x)_{max}=cfrac{a}{e}leqslant cfrac{1}{2}),
又(e eq 2),故(cfrac{alnx}{x}<cfrac{2e^{x-2}}{x^2}),
即(f(x)<x^2+cfrac{2}{x}e^{x-2});
具体说明如下,
其一:举个特例,比如函数与导数中有一个很重要的不等式,(e^xgeqslant x+1),则(f(x)=e^x)没有最值;(g(x)=x+1)也没有最值;
其二:还有人补充说,(f(x)_{min}geqslant g(x)_{max}),只要在同一点取得最值即可。这当然是满足的,但还有些是满足恒成立,却不是在同一点取得最值的,比如(x^2+1>lnx)。 ↩︎说明:此时有一个很实用的数学常识,当表达式中含有(lnx)时常常用(x=1)来尝试寻找分点。
比如此题中(h'(1)=0),然后分((0,1))和((1,+infty))两段上分别尝试判断其正负,从而得到如下: ↩︎导数的解答题到此,我们可以这样寻找分界点,当题目中含有(e^x)时,可以考虑用(x=0)来尝试分界点,由于(e^0=1);当题目中含有(lnx)时,可以考虑用(x=1)来尝试分界点,由于(ln1=0),我们很容易发现,(x=-1)是分界点,故可以这样写结果, ↩︎
此处用到了不等式的性质;
由于(aleqslant -cfrac{1}{e^2}),则(ae^2leqslant -1),
故(0>cfrac{1}{ae^2}geqslant -1),则(1>cfrac{1}{ae^2}+1geqslant 0),
则(-1<-(cfrac{1}{ae^2}+1)leqslant 0), ↩︎此举是为了构造函数(y=cfrac{lnx}{x}),我们应该记住这个函数的图像和性质;
例1 【2020高三文科二轮用题】已知函数(f(x)=cfrac{lnx}{x}+a(x-1)),
(1).若(a=0),求函数(f(x))的极值;
分析:若(a=0),则函数(f(x)=cfrac{lnx}{x}),定义域为((0,+infty)),
则(f'(x)=cfrac{1-lnx}{x^2}),[此时借助分子函数(y=1-lnx)的图像,快速写出如下]
当(xin (0,e))时,(f'(x)>0),则(f(x))单调递增,
当(xin (e,+infty))时,(f'(x)<0),则(f(x))单调递减,
即函数(f(x))在((0,e))上单调递增,在((e,+infty))上单调递减,
所以函数(f(x))有极大值,极大值为(f(e)=cfrac{1}{e}),没有极小值;
[备注:此函数的图像使用频度很高,故建议学生理解记忆。如下]
函数与导数中常用的函数和不等关系 ↩︎