前言
相等关系和不等关系是数学量之间的两种很重要的关系，他们都属于确定性的关系，这两种关系对应的数学刻画方式是等式和不等式；但是在高中数学题目中，有些表面上看是相等关系，我们可以转化为不等关系求变量的取值范围，有些是不等关系，却其实表达的是相等关系。
不等变相等
不等关系转化为相等关系，主要是由于函数性质[1]的介入和参与。
- 在初中阶段，常用的非负式子有二次式，二次根式，绝对值式；其实也就是分别考查(y=x^2geqslant 0)，(y=sqrt{x}geqslant 0)，(y=|x|geqslant 0)的非负性的应用，
分析：由于((x+y-3)^2+3|x-y-1|=0)，
且((x+y-3)^2geqslant 0)，(3|x-y-1|geqslant 0)，
则须满足条件(left{egin{array}{l}{x+y-3=0}\{x-y-1=0}end{array} ight.)，
从而求得(x=2)，(y=1)，则(2x+y=5)；
变式1：已知((x+y-3)^2+3(x-y-1)^2=0)，求(2x+y)的值；
变式2：已知(|x+y-3|+3|x-y-1|=0)，求(2x+y)的值；
变式3：已知((x+y-3)^2+sqrt{x-y-1}=0)，求(2x+y)的值；
变式4：已知(sqrt{x+y-3}+sqrt{x-y-1}=0)，求(2x+y)的值；
变式5：已知(sqrt{x+y-3}+3|x-y-1|=0)，求(2x+y)的值；
变式6：已知(|a-7|+sqrt{b-24}+(c-25)^2=0)，求以(a,b,c)为三边的三角形面积。
提示：(7,24,25)为勾股数，三角形为(Rt riangle)，(S=84)；
分析：由题目可知，(1-x^2geqslant 0)且(x^2-1geqslant 0)，故(x^2=1)，
解得(x=pm 1)，故定义域为({-1,1})。
(1)、当(xin [0，cfrac{pi}{2}])时，求函数(f(x))的取值范围。
分析：先将函数变形为正弦型函数(f(x)=2sin(2x-cfrac{pi}{6})+1)，其中(xin [0，cfrac{pi}{2}])，
题目转化为正弦型函数在限定区间上的值域问题，常规题目，(f(x)in [0，3])
(2)、若对任意的(xin R)，都有(f(x)leq f(A))，求(A)的大小。
分析：对任意的(xin R)，都有(f(x)leq f(A))，则(f(A)geqslant f(x)_{max})；
(f(x)=2sin(2x-cfrac{pi}{6})+1，xin R)，则(f(x)_{max}=3)，
即(f(A)geqslant 3)，又由于(f(A)=2sin(2A-cfrac{pi}{6})+1)
故有(2sin(2A-cfrac{pi}{6})+1geqslant 3)，即(sin(2A-cfrac{pi}{6})geqslant 1)，
又由正弦函数的值域范围【数学常识：已知(sinxgeqslant 1)，其实是告诉我们(sinx=1)】可知，
此时只能取(sin(2A-cfrac{pi}{6})=1)，即(2A-cfrac{pi}{6}=cfrac{pi}{2})，故(A=cfrac{pi}{3})。
相等变不等
相等关系转化为不等关系，主要是由于重要不等式[2]和均值不等式的引入和参与。
分析：①、求(ab)的范围；
由题目可知，(-3+ab=a+b)，又由均值不等式可知(a+bgeqslant 2sqrt{ab})，
则有(ab-2sqrt{ab}-3geqslant 0)，即((sqrt{ab})^2-2sqrt{ab}-3geqslant 0)
分解因式得到，((sqrt{ab}+1)(sqrt{ab}-3) geqslant 0)
解得(sqrt{ab}leqslant -1) 或 (sqrt{ab}geqslant 3)
又(a，bin R^{+})，故 (sqrt{ab}geqslant 3) (当且仅当(a=b=3)取到等号)
给(sqrt{ab}geqslant 3)两边同时平方，得到(abgeqslant 9)，即(abin [9,+infty))
②、求(a+b)的范围；
分析：(ecause a+b+3=ab leq (cfrac{a+b}{2})^2，令t=a+b)
则转化为(t^2-4t-12 ge 0)，解得(t leq -2)(舍去) 或 $t ge 6 $
故 (a+b ge 6 (当且仅当a=b=3取到等号))
【评析】代数式中同时有(a+b)和(ab)型，两元(a+b，ab)常常转化集中为一元(a+b)或(ab)，这样就好处理多了。
细节处理
恒成立中有些带等号，有些不带等号。有空再补充。