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思维导图
链接地址：函数与导数
典例剖析
复合函数的求导运算
分析：我们目前一般只涉及一次复合的函数如(y=f(u))和(u=g(x))，
则复合函数为(y=f[g(x)])，([f(g(x))]'=f'[g(x)]cdot g'(x))；
令(phi=2x+1)，则(y=f(x)=sinphi)，故(f'(x)=y'_x=y'_{phi}cdot phi'_x=cosphicdot 2=2cos(2x+1))；
②设(g(x)=ln(x^2+3x))，求导函数(g'(x))；
分析：(g'(x)=cfrac{1}{x^2+3x}cdot (x^2+3x)'=cfrac{2x+3}{x^2+3x})；
说明：函数(f(x)=x^2pm lnx)，不是复合函数，只是两个函数(y=x^2)与函数(y=lnx)之间用四则运算构成的一个新函数。
③[抽象复合函数的求导]设(g(x)=xcdot f(2x))，求(g'(x))
分析：(g'(x)=[xcdot f(2x)]'=x'cdot f(2x)+xcdot f'(2x)cdot (2x)'=f(2x)+2xcdot f'(2x))
- 注意：复合函数求导时的运算，如对(y=ln(cfrac{1+x}{1-x}))直接求导，不如变形为(y=ln(1+x)-ln(1-x))后求导；
若(f(x)=cos(2x+cfrac{pi}{3}))，则(f'(x)=-2sin(2x+cfrac{pi}{3}))；
若已知(f(2x+3))，则([f(2x+3)]'=2f'(2x+3))；
- 类型1：一曲线一直线的单切线形
思路方法：若是在点处，利用点斜式写出切线方程：(y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0))；若是过点处，则设切点((x_0，y_0))，然后利用方程组求切点，再代入计算切线即可。
分析：利用点斜式来求解，
其中斜率(k=f'(x)_{|x=1}=(2x-cfrac{1}{x^2})_{|x=1}=1)，切点是((1，2))，
故切线方程为(y-2=1(x-1))，整理为(y=x+1)。
分析：设经过点(P(2，4))的切线方程与曲线相切于点(P_0(x_0，y_0))，则有
(egin{cases}y_0=cfrac{1}{3}x_0^3+cfrac{4}{3}\ k=f'(x_0)=x_0^2\ y-y_0=f'(x_0)(x-x_0) end{cases})
又因为点(P(2，4))在切线方程上，则有(4-(cfrac{1}{3}x_0^3+cfrac{4}{3})=x_0^2(2-x_0))
整理得到，(x_0^3-3x_0^2+4=0)
(x_0^3-3x_0^2+4=(x_0^3+1)-3(x_0^2-1))
(=(x_0+1)(x_0^2-x_0+1)-3(x_0+1)(x_0-1))
(=(x_0+1)(x_0^2-x_0+1-3x_0+3))
(=(x_0+1)(x_0-2)^2=0)；
即((x_0+1)(x_0-2)^2=0)，解得(x_0=-1)，或(x_0=2)
当(x_0=-1)时，切点为((-1，1))，(k_1=1)，切线方程为(x-y+2=0)；
当(x_0=2)时，切点为((2，4))，(k_2=4)，切线方程为(4x-y-4=0)；
注意：常用的变形方法有试商法、分组分解法、多项式除法；
分析：设函数(y=kx)与函数(y=lnx)切点为(Q(x_0,y_0))，则有
(egin{cases} y_0=kx_0 \ y_0=lnx_0 \ k=f'(x_0)=cfrac{1}{x_0}end{cases})；
从而解得(x_0=e,y_0=1,k=cfrac{1}{e})，故切点(Q)的坐标为((e，1))
思路：平行线法，设和直线(y=x)平行且和函数(y=lnx)相切的直线为(y=x+m)，
切点为(P_0(x_0,y_0))，则有(egin{cases} y_0=x_{0}+ m \ y_0=lnx_0 \ f'(x_0)=cfrac{1}{x_0}=1end{cases})；
从而解得(x_0=1,y_0=0,m=-1)所以所求的点点距的最小值，就转化为切点(P_0(1,0))到直线(y=x)的点线距，
或者两条直线(y=x,y=x-1)的线线距了。
解后反思：此题目可以引申为曲线上的点到直线上的点的最小值，使用平行线法。比如：
题目1：直线(y=x)上的动点为(P)，函数(y=lnx)上的动点是(Q)，求(|PQ|)的最小值。
题目2：直线(y=x)上的点为(P(x，y))，函数(y=lnx)上的点是(Q(m，n))，求(sqrt{(x-m)^2+(y-n)^2})的最小值。
分析：先仿上例3先求得过坐标原点与(y=lnx)相切的直线是(y=cfrac{1}{e}x)，切点是((e，1))，
设切线的倾斜角是(phi)，则(tanphi=cfrac{1}{e})，若切线绕坐标原点旋转角( heta)后切线变成了(y)轴，
由(cot heta=tanphi=cfrac{1}{e})可得， (cfrac{cos heta}{sin heta}=cfrac{1}{e})，即(sin heta=ecos heta)，故选(A)。
分析：当在曲线上试图寻找一点，让它到直线的距离最小，思考不便于展开时，不妨换位思考，让直线平行移动到和曲线相切得到一个切点，那么所求距离就是切点到直线的点线距，或者是两条平行线之间的线线距。
解析：将函数化简整理为(y=f(x)=x^2-lnx(x>0))，
再设与已知直线平行的且与曲线相切的直线为(4x+4y+c=0)，
切点为((x_0，y_0))，则由(f'(x)=2x-cfrac{1}{x})，
得到(egin{cases}k=f'(x_0)=2x_0-cfrac{1}{x_0}=-1①\4x_0+4y_0+c=0②\y_0=x_0^2-lnx_0③end{cases})，
解①得到(x_0=-1(舍去))或(x_0=cfrac{1}{2})，代入③得到(y_0=cfrac{1}{4}+ln2)，
故切点((cfrac{1}{2}，cfrac{1}{4}+ln2))到已知直线(4x+4y+1=0)的距离就是所要求解的距离。
故所求距离(d=cfrac{|4 imes cfrac{1}{2}+4 imes(cfrac{1}{4}+ln2)+1|}{sqrt{4^2+4^2}}=cfrac{sqrt{2}}{2}(1+ln2))
- 类型2：两曲线一直线的公切线型
思路方法：转化为一曲线和一直线型；或者利用同一法求解
分析：本题目属于公切线问题，可以先求得过点((1，0))处的与(y=x^3)相切的直线，然后联立该直线和抛物线(二次函数)，利用(Delta=0)来保证另一个相切的成立。
解析：设过点((1，0))的直线与曲线(y＝x^3)相切于点((x_0，y_0))，由(f'(x)=3x^2)可得，
(egin{cases}k=f'(x_0)=3x_0^2\y_0=x_0^3\y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)end{cases})，又点((1，0))在切线上，故有(0-x_0^3=3x_0^2(1-x_0))，
解得(x_0=0)或(x_0=cfrac{3}{2})；
当(x_0=0)时，(y_0=0)，即切点是((0，0))，斜率(k=0)，故切线方程为(y=0)，
与曲线(y=ax^2+cfrac{15}{4}x-9)相切，消(y)得到(ax^2+cfrac{15}{4}x-9=0)，
利用(Delta=(cfrac{15}{4})^2+4 imes 9a=0)，解得(a=-cfrac{25}{64})；
当(x_0=cfrac{3}{2})时，(y_0=cfrac{27}{8})，即切点是((cfrac{3}{2}，cfrac{27}{8}))，斜率(k=cfrac{27}{4})，
故切线方程为(y-cfrac{27}{8}=cfrac{27}{4}(x-cfrac{3}{2}))，
与曲线(y=ax^2+cfrac{15}{4}x-9)相切，消(y)得到(ax^2-3x-cfrac{9}{4}=0)，
利用(Delta=(-3)^2-4 imes a imes(-cfrac{9}{4})=0)，解得(a=-1)；
综上，(a=-1)或(-cfrac{25}{64})，故选A。
反思总结：直线与三次曲线的相切问题，我们用导数解决；直线与二次曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线等)的相切问题，我们常用(Delta=0)来解决，相对运算能快一些。