前言
一检典例
法1：从形的角度分析；用导数工具分析函数(f(x))的单调性，做出其简图，如图所示，
当点(P)在直线(x=-1)的下端[无穷远处]时，我们做不出过点(P)的三条切线，故可以排除(C)和(D)两个选项；
比较选项(A)和(B)，我们考虑(m=7)，此时点(P)位于点(B)处，若(m>7)，我们更加做不出过点(P)的三条切线，故选(B)；
法2：从数的角度入手计算；(f'(x)=-3x^2+12x)，设经过点(P)的直线和函数(f(x))相切于点(Q(x_0，y_0))，
[不着急考虑有三条切线的问题，到时候写出切线方程，让其有三个解即可]
则(left{egin{array}{l}{k=f'(x_0))=-3x_0^2+12x_0①，斜率角度}\{y_0=-x_0^3+6x_0^2②，切点在曲线上}end{array} ight.)
又由于切线方程为(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0))，将上述条件代入得到，
(y-(-x_0^3+6x_0^2)=(-3x_0^2+12x_0)(x-x_0))，又由于动点(P(-1,m))在切线上，则有
(m-(-x_0^3+6x_0^2)=(-3x_0^2+12x_0)(-1-x_0))，整理得到，(m=2x_0^3-3x_0^2-12x_0)，
[此处注意，虽说上述结果只有一个表达式，其实它可以包含切线的三个位置]
因此，函数(y=m)和函数(g(x)=2x^3-3x^2-12x)的图像应该有三个不同的交点；
由于(g'(x)=6x^2-6x-12=6(x^2-x-2)=6(x+1)(x-2))，
故函数(g(x))在((-infty，-1))单调递增，在((-1，2))单调递减，在((2，+infty))单调递增，
显然(g(x)_{极大}=g(-1)=7)，(g(x)_{极小}=g(2)=-20)，
做出两个函数的简图，如图所示，
由图可知，(-20<m<7)，故选(B)。
法1：理科学生可以使用建立空间直角坐标系的思路求解；
法2：平移构造三角形法，取(BC)的中点(F)，连接(EF)和(AF)，
则由(EF//PB)，可知(angle AEF)即为两条异面直线(AE)与(PB)所成的角，
在( riangle AEF)中，容易知道(AE=EF=sqrt{2})，(AF=sqrt{3})，
由余弦定理可知，(cosangle AEF=cfrac{1}{4})；
(1).从总体的(400)名学生中随机抽取一人，估计其分数小于(70)的概率；
分析：解答本题目应该注意到两点：①用频率分布直方图计算出来的其实是频率，我们只是用此频率粗略的估计概率；②计算所得的概率是直方图中的(100)个样本数据的概率，还需要用此样本数据的概率粗略的估计总体数据(400)的概率；据此计算说明如下：
由频率分布直方图可知，样本中分数小于(70)的频率：(1-(0.02+0.04) imes 10=0.4)，
所以从总体的(400)名学生中随机抽取一人，其分数小于(70)分的概率为(0.4)；
(2).已知样本中分数小于(40)的学生的学生有(5)人，试估计总体中分数在([40,50))内的人数；
分析：学生易错的问题，忘记用样本数据来估计总体数据，其本质是没有理解数学的学习本质，是为了服务生产和生活；
由题意可知，样本中分数不小于(50)的频率为((0.01+0.02+0.04+0.02) imes 10=90)，
则分数在([40，50))内的人数为(100-100 imes 0.9-5=5)，即样本中分数在([40，50))内的频率[或概率]为(cfrac{5}{100}=0.05)，
则总体中分数在([40，50))内的频率[或概率]为(cfrac{5}{100}=0.05)，分数在([40，50))内的人数为(400 imes 0.05=20)；
(3).学生易错的问题，由题可知，样本中分数不小于(70)的人数为((0.02+0.04) imes 10 imes 100=60)，
所以样本中分数不小于(70)分的男生人数为(60 imes cfrac{1}{2}=30)；
则样本中男生人数为(30 imes 2=60)，故样本中女生人数为(100-60=40)，
所以样本中男生和女生人数的比例为(60:40=3:2)，由分层抽样原理可知，
估计总体中的男生和女生人数的比例为(3:2).
(1).讨论函数(f(x))的单调性；
分析：定义域为((0，+infty))，(f'(x)=cfrac{-lnx+1-a}{x^2})，[利用分子函数的图像思考，可以降低思维难度]
令(f'(x)=0)，则(lnx=1-a)，故(x=e^{1-a})，
则当(xin (0，e^{1-a}))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增，
当(xin (e^{1-a}，+infty))时，(f'(x)<0)，(f(x))单调递减，
综上所述，函数(f(x))的单调递增区间为((0，e^{1-a}))，单调递减区间为((e^{1-a}，+infty))；
(2).[难点题目]若(x>0)，(g(x)geqslant f(x))恒成立，求实数(a)的最大值；
分析：由题目可知，(cfrac{lnx+a}{x}leqslant e^x-1)对(x>0)恒成立，
即(aleqslant x(e^x-1)-lnx)对(x>0)恒成立，
令(h(x)=x(e^x-1)-lnx(x>0))，则需要求函数(h(x)_{min})，
(h'(x)=e^x-1+xe^x-cfrac{1}{x}=cfrac{xe^x-x+x^2e^x-1}{x}=cfrac{(x+1)(xe^x-1)}{x})
[以下我们要考虑(y=xe^x-1)的正负，可以用图像法和导数法两个思路求解]
【思路1】：令(y=xe^x-1)，想知道这个函数的零点，必然要想到用图形的思路，而不是计算的思路；
在同一个坐标系中做出(y=e^x)和(y=cfrac{a}{x})的图形，大致能看到(x_0in (0，1))，
在(xin (0,x_0))上，(cfrac{1}{x}>e^x)，即(xe^x-1<0)，
在(xin (x_0,+infty))上，(cfrac{1}{x}<e^x)，即(xe^x-1>0)，
当(x=x_0)时，(xe^x-1=0)，即(x_0e^{x_0}-1=0)，且(x_0=-lnx_0);
故对函数(h'(x))而言，(xin (0,x_0))时，(h'(x)<0)，(h(x))单调递减，
(xin (x_0,+infty))时，(h'(x)>0)，(h(x))单调递增，
故(h(x)_{min}=h(x_0)=x_0e^{x_0}-x_0-lnx_0=1-x_0-lnx_0=1)，
故(aleqslant 1)，故(a_{max}=1)。
【思路2】：令(m(x)=xe^x-1)，则(m'(x)=e^x+xe^x=e^x(x+1)>0)，故函数(m(x))在((0,+infty))上单调递增，
又(m(0)=-1<0)，(m(1)=e-1>0)，故函数存在零点(x_0)，使得(m(x_0)=0)，(x_0in (0,1))，
故对函数(h'(x))而言，(xin (0,x_0))时，(h'(x)<0)，(h(x))单调递减，
(xin (x_0,+infty))时，(h'(x)>0)，(h(x))单调递增，
故(h(x)_{min}=h(x_0)=x_0e^{x_0}-x_0-lnx_0=1-x_0-lnx_0=1)，
故(aleqslant 1)，故(a_{max}=1)。
解后反思：本题目中求函数(m(x)=xe^x-1)的零点的设而不求的技巧要特别注意体会和理解，否则我们的思路会到此戛然而止。
(1).求动圆(Q)的圆心轨迹(C)的方程；
[法1]：直接法，将圆(x^2+y^2-2x+frac{3}{4}=0)化为标准形式为((x-1)^2+y^2=frac{1}{4})，
设动圆的圆心(Q)坐标为(Q(x,y))，由动圆(Q)与直线(x+frac{1}{2}=0)相切，且与圆((x-1)^2+y^2=frac{1}{4})外切；
可知(sqrt{(x-1)^2+y^2}=|x+frac{1}{2}|+frac{1}{2}=x+1)，两边平方整理得到，(y^2=4x)，
所以动圆(Q)的圆心轨迹(C)的方程为(y^2=4x)。
[法2]：定义法，动圆心(Q(x,y))到定圆点((1,0))的距离为(r+frac{1}{2})，动圆心(Q(x,y))到定直线(x+frac{1}{2}=0)的距离为(r)，
则动圆心(Q(x,y))到定直线(x+1=0)的距离为(r+frac{1}{2})，
则动点(Q(x,y))到定点的距离与动点到定直线的距离相等，故动点的轨迹为形如(y^2=2px)的抛物线，
且(cfrac{p}{2}=1)，则(p=2)，故(y^2=4x)。
(2).已知过点(M(m,0))的直线(l：x=ky+m)与曲线(C)交于(A)，(B)两点，是否存在常数(m)，使得(frac{1}{|AM|^2})(+frac{1}{|BM|^2})恒为定值？
分析：由题意可设直线(l：x=ky+m)，
则由(left{egin{array}{l}{x=ky+m}\{y^2=4x}end{array} ight.quad) 消去(x)得到，(y^2-4ky-4m=0)，
则由韦达定理可得，(y_1+y_2=4k)，(y_1y_2=-4m)，
则(cfrac{1}{|AM|^2})(+cfrac{1}{|BM|^2}=cfrac{1}{(x_1-m)^2+y_1^2}+cfrac{1}{(x_2-m)^2+y_2^2}=cfrac{1}{(k^2+1)y_1^2}+cfrac{1}{(k^2+1)y_2^2})
(=cfrac{y_1^2+y_2^2}{(k^2+1)y_1^2y_2^2}=cfrac{(y_1+y_2)^2-2y_1y_2}{(k^2+1)y_1^2y_2^2})
(=cfrac{16k^2+8m}{(k^2+1)16m^2}=cfrac{2k^2+m}{2m^2(k^2+1)})
由于上式对任意(kin R)恒为定值，设(cfrac{2k^2+m}{2m^2(k^2+1)}=t)，
整理得到，((2m^2t-2)k^2+(2m^2t-m)=0)，由(left{egin{array}{l}{2m^2t-2=0}\{2m^2t-m=0}end{array} ight.quad)
即(left{egin{array}{l}{2m^2t=2}\{2m^2t=m}end{array} ight.quad) 两式相比，解得(m=2)，
此时(cfrac{1}{|AM|^2})(+cfrac{1}{|BM|^2}=cfrac{2k^2+m}{2m^2(k^2+1)}=cfrac{2k^2+2}{2 imes 2^2(k^2+1)}=cfrac{1}{4})，
故存在定点(M(2,0))，满足题意。
(1).当(a=1)时，求不等式(f(x)geqslant 5)的解集；
分析：用分区间讨论法，求解得到解集为({xmid xleqslant -3或xgeqslant 2}).
(2).若(f(x)leqslant 3-x)的解集为(A)且([-4，-2])是集合(A)的子集，求(a)的取值范围。
分析：由题意可知，(f(x)leqslant 3-x)在区间([-4，-2])上恒成立，
即(|ax-1|-x-2leqslant 3-x)在区间([-4，-2])上恒成立，即(|ax-1|leqslant 5)在区间([-4，-2])上恒成立，
即(-4leqslant axleqslant 6)在区间([-4，-2])上恒成立，由于(xin [-4，-2])
则(left{egin{array}{l}{-4leqslant -4aleqslant 6}\{-4leqslant -2aleqslant 6}end{array} ight.quad) 即(left{egin{array}{l}{-cfrac{3}{2}leqslant aleqslant 1}\{-3leqslant aleqslant 2}end{array} ight.)，解得即(-cfrac{3}{2}leqslant aleqslant 1)
故(a)的取值范围是([-cfrac{3}{2}，1]).
二检典例
分析：本题目属于新定义题目，融合考查函数的周期性；
由题目的定义可知，(f(8))表示的是(8^2+1)的各位数字之和，
由于(8^2+1=65)，则(f(8)=6+5=11)，这样(f_1(8)=f(8)=6+5=11)，
由于(11^2+1=122)，则(f(11)=1+2+2=5)，故(f_2(8)=f(f_1(8))=f(11)=1+2+2=5)，
由于(5^2+1=26)，则(f_3(8)=f(f_2(8))=f(5)=2+6=8)，
由于(8^2+1=65)，故(f_4(8)=f(f_3(8))=f(8)=6+5=11)，
由于(11^2+1=122)，故(f_5(8)=f(f_4(8))=f(11)=1+2+2=5)，
故函数(f_n(8))的周期(T=3)，(f_{2020}(8)=f_{673 imes 3+1}(8)=f_1(8)=f(8)=11);
故答案为(11).
| (x) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| (y) | 7 | 6 | 5 | 4 | 2 |
(1).求(y)关于(x)的线性回归方程(hat{y}=hat{b}x+hat{a}).
分析：(ar{x}=cfrac{1}{5}(1+2+3+4+5)=3)，(ar{y}=cfrac{1}{5}(7+6+5+4+2)=4.8)，
(sumlimits_{i=1}^5{x_iy_i}=1 imes7+2 imes6+3 imes5+4 imes4+5 imes2=60)
(sumlimits_{i=1}^5{x_i^2}=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55)
(hat{b}=frac{sumlimits_{i=1}^n{x_iy_i-ncdotar{x}cdotar{y}}}{sumlimits_{i=1}^n{x_i^2-ncdotar{x}^2}}=cfrac{60-5 imes3 imes4.8}{55-5 imes 3^2}=-1.2)，
(hat{a}=ar{y}-hat{b}cdotar{x}=4.8-(-1.2) imes 3=8.4).
则(y)关于(x)的线性回归方程(hat{y}=-1.2x+8.4).
[另解:若对数据做一些简单的处理，运算能简单一些]令(m=y-5)，则上述表格转化为
| (x) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| (m=y-5) | 2 | 1 | 0 | -1 | -3 |
(ar{x}=cfrac{1}{5}(1+2+3+4+5)=3)，(ar{m}=cfrac{1}{5}(2+1+0-1-3)=-0.2)，
(sumlimits_{i=1}^5{x_im_i}=1 imes2+2 imes1+3 imes0+4 imes(-1)+5 imes(-3)=-15)
(sumlimits_{i=1}^5{x_i^2}=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55)
(hat{b}=frac{sumlimits_{i=1}^n{x_iy_i-ncdotar{x}cdotar{y}}}{sumlimits_{i=1}^n{x_i^2-ncdotar{x}^2}}=cfrac{-15-5 imes3 imes(-0.2)}{55-5 imes 3^2}=-1.2)，
(hat{a}=ar{m}-hat{b}cdotar{x}=-0.2-(-1.2) imes 3=3.4).
则(m)关于(x)的线性回归方程(m=-1.2x+3.4)，又由于(m=y-5)，
故(y)关于(x)的线性回归方程(y-5=-1.2x+3.4)，即(y)关于(x)的线性回归方程(hat{y}=-1.2x+8.4).
(2).若每吨该产品的成品为(2)千元，假设该产品能全部卖出去，预测当年的年产量为多少时，年利润(z)达到最大值？
分析：年利润 = 收入-成本，收入=产量( imes)价格；
故年利润(z=x(8.4-1.2x)-2x=-1.2x^2+6.4x)，
当(x=-cfrac{6.4}{2 imes (-1.2)}=cfrac{8}{3})，年利润最大。
[附参考公式：线性回归直线为(widehat{b}=frac{sumlimits_{i=1}^n{(x_i-ar{x})(y_i-ar{y})}}{sumlimits_{i=1}^n{(x_i-ar{x})^2}}=frac{sumlimits_{i=1}^n{x_iy_i-ncdotar{x}cdotar{y}}}{sumlimits_{i=1}^n{x_i^2-ncdotar{x}^2}})，(widehat{a}=ar{y}-widehat{b}cdotar{x}).]
(1).求函数(f(x))的最大值(m)；
法1：分区间讨论法，(m=f(x)_{max}=5)
法2：绝对值不等式性质法，(m=f(x)_{max}=5)
具体解法过程，请参见：不等式选讲习题中的例4.
(2).正数(a),(b),(c)满足(a+2b+3c=m)，求证：(cfrac{1}{a}+cfrac{2}{b}+cfrac{3}{c}geqslantcfrac{36}{5}).
分析：由(1)可知，(a+2b+3c=5)，
法1：由柯西不等式可得，
([(sqrt{a})^2+(sqrt{2b})^2+(sqrt{3c})^2]cdot [(sqrt{frac{1}{a}})^2+(sqrt{frac{2}{b}})^2+(sqrt{frac{3}{c}})^2])
(geqslant left (sqrt{a} imessqrt{frac{1}{a}}+sqrt{2b} imessqrt{frac{2}{b}}+sqrt{3c} imessqrt{frac{3}{c}} ight )^2=(1+2+3)^2=36)
当且仅当(cfrac{a}{frac{1}{a}}=cfrac{2b}{frac{2}{b}}=cfrac{3c}{frac{3}{c}})，即(a=b=c)且(a+2b+3c=5)，
则(a=b=c=cfrac{5}{6})时取到等号。
即(5(cfrac{1}{a}+cfrac{2}{b}+cfrac{3}{c})geqslant 36)，
即(cfrac{1}{a}+cfrac{2}{b}+cfrac{3}{c}geqslantcfrac{36}{5}).
法2：利用均值不等式，乘常数除常数[两项×两项较常见，本题是三项×三项]的思路证明，
(cfrac{1}{a}+cfrac{2}{b}+cfrac{3}{c}=cfrac{1}{5}(cfrac{1}{a}+cfrac{2}{b}+cfrac{3}{c}) imes 5)
(=cfrac{1}{5}(cfrac{1}{a}+cfrac{2}{b}+cfrac{3}{c}) imes (a+2b+3c))
(=cfrac{1}{5}(1+4+9+cfrac{2b}{a}+cfrac{2a}{b}+cfrac{3c}{a}+cfrac{3a}{c}+cfrac{6c}{b}+cfrac{6b}{c}))
(geqslant cfrac{1}{5}(1+4+9+2sqrt{4}+2sqrt{9}+2sqrt{36})=cfrac{36}{5}).
当且仅当(cfrac{2b}{a}=cfrac{2a}{b})且(cfrac{3c}{a}=cfrac{3a}{c})且(cfrac{6c}{b}=cfrac{6b}{c})，
即即(a=b=c)且(a+2b+3c=5)，则(a=b=c=cfrac{5}{6})时取到等号。