两点之间线段最短

前言

在平面几何中，两点之间线段最短，这是初中学生人尽皆知的公理，其实它已经延申到了高中数学中；

典例剖析

例1[两定点一动点]如图所示，定点(A)，(B)在直线(l)的同一侧，在直线上找一点(P)，使得(|PA|+|PB|)最短。

分析：做出点(A)关于直线(l)的对称点(A')，连结(A'B)和直线(l)相交于点(P)，由两点之间线段最短，点(P)为所求作的点。

例2[两定点一动点]如图，(E)为正方形(ABCD)的边(AB)上的一点，(BE=3AE=6)，(P)为对角线(BD)上的一个动点，则(|PA|+|PE|)的最小值为_______。

分析：由题可知，(AB=BC=8)，(BE=6)，

将点(A)关于直线(BD)对称到点(C)，连结(CE)和(BD)相交于一点(P)，

则由两点之间线段最短，可知点(P)为所求作的点。

此时([|PA|+|PE|]_{min}=|CE|=sqrt{6^2+8^2}=10)。

例3[两动点一定点]已知抛物线(y^2=4x)上一个动点(P)，点(A(4,2))，求点(P)的坐标，使得点(P)到准线的距离(|PE|)与(|PA|)之和最小，

分析：准线为(x=-1)，当点(A)，(P)，(E)三点共线，即三点连线与(x)轴平行时(|PE|+|PA|)之和最小；

此时([|PA|+|PE|]_{min}=|AE|=|4-(-1)|=5)，此时点(E(-1,2))，点(P(1,2))。