前言
周期性+左右平移
【法1】：基础作图法，利用给定的关系式得到函数在每一段上的解析式，然后分段作图。由(f(x)=f(x-1))可知(T=1)；
当(0<xleqslant 1)时，(x-1leqslant 0)，故(f(x)=f(x-1)=2^{-(x-1)-1}=2^{1-x}-1)；
当(1<xleqslant 2)时，(x-2leqslant 0)，故(f(x)=f(x-2)=2^{-(x-2)-1}=2^{2-x}-1)；
当(2<xleqslant 3)时，(x-3leqslant 0)，故(f(x)=f(x-2)=2^{-(x-3)-1}=2^{3-x}-1)；
(cdots)，(cdots)，(cdots)，
依此类推，得到如下的解析式：
依托上述解析式，我们就能容易做出静态函数(y=f(x))和动态函数(y=x+a)的图像于同一个坐标系，
利用图像，就能轻松看出参数(a)的取值范围为(ain (-infty，1))。
【法2】：快速作图法，解读给定的分段函数的解析式，第一段其实是作图的基础，难点是如何利用第二段来作图，
由于(f(x)=f(x-1)(x>0))，说明函数在((0，+infty))上部分图像向右有周期性(T=1)，
又由于(f(x-1))的图像是把(f(x))的图像向右平移一个单位得到，故将第一段向右平移一个单位，然后截取图像的((0,1])区间上的部分即可。
这样，在区间((1,2])段上的图像，就是将((0,1])段上的图像向右平移一个单位即可，
在区间((2,3])段上的图像，就是将((1,2])段上的图像向右平移一个单位即可，以此类推，
得到区间((0，+infty))上的所有图像，然后在同一个坐标系中再做出动态函数(y=x+a)的图像，
利用图像，就能轻松看出参数(a)的取值范围为(ain (-infty，1))。
解后反思：函数与方程的相互等价转化，数形结合思想； 特殊分段函数的图像做法； 分段函数中只包含周期性的图像做法；
周期性+纵轴平移
同时涉及左右平移和上下平移
【法1】：基础作图法，仿照上例中的法1，先求得分段函数的解析式，再依次做出其图像即可，(T=1)
当(1leqslant xleqslant 2)时，(0leqslant x-1leqslant 1)，故(f(x)=f(x-1)+1=(x-1)^2+1)；
当(2leqslant xleqslant 3)时，(0leqslant x-2leqslant 1)，故(f(x)=f(x-2)+2=(x-2)^2+2)；
当(3leqslant xleqslant 4)时，(0leqslant x-3leqslant 1)，故(f(x)=f(x-3)+3=(x-3)^2+3)；
(cdots)，(cdots)，(cdots)，
依此类推，得到如下的解析式：
【法2】：快速作图法，有了上例中的作图经验，类比上例这样做，先作区间([0,1])上的图像，
将区间([0,1])上的图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位，得到([1,2])的图像；
将区间([1,2])上的图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位，得到([2,3])的图像；
将区间([2,3])上的图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位，得到([3,4])的图像；
以此类推，得到整个分段函数的图像。
周期性+纵轴伸缩
思路：在同一个坐标系中做出分段函数(y=f(x)(xin[-2，4]))和函数(y=x+a)((a)是动态的)，
利用数形结合求解。 关键是怎么做出分段函数(f(x))的图像？
先做出(xin[-2，0])上的函数(f(x)=1-|x+1|)的图像， 具体可以这样做，
(|x|longrightarrow|x+1|longrightarrow-|x+1|longrightarrow1-|x+1|)，再截取得到(xin[-2，0])上的图像即可。
难点是第二段(f(x)=2f(x-2)(x>0)，)此时我们可以这样理解，
这样的效果是由(f(x)=f(x-2)(周期变换))和(y=2f(x)(振幅变换))叠加而成的，
因此我们可以将(xin[-2，0])上的函数(f(x)=1-|x+1|)的图像先向右平移2个单位，
然后再将纵坐标扩大2倍， 这样就得到了(xin[0，2])上的函数图像；
再将(xin[0，2])上的函数图像先向右平移2个单位，然后再将纵坐标扩大2倍，
这样就得到了(xin[2，4])上的函数图像；整个(xin[-2，4])上的函数图像如右图的橘黄色部分所示；
函数(y=x+a(a动态))的图像如图中的绿色直线所示，让这条绿色的直线沿(y)轴平行移动，
根据两个图像有三个交点，就可以得到(a)的取值范围((-2<a<0)或(a=1))。
感悟反思：
1、函数与方程的相互等价转化，数形结合思想；
2、分段函数的图像做法；
3、分段函数中包含周期性和振幅变换的图像做法；
分析：要想弄清楚这类题目的求解，最好先理解题目中给定的条件的目的，
给定条件“(f(x+1)=2f(x))”是为了让你用来求解其他区间上的解析式，以便于求解或作图；
给定条件“(xin (0，1])时，(f(x)=x(x-1))”，是我们作图或者求其他区间上的解析式的基础；因此我们需要先求得函数的解析式；
给定条件“(xin (-infty，m])，都有(f(x)geqslant -cfrac{8}{9})”，是让我们做出函数(y=f(x))的图像和(y=-cfrac{8}{9})的图像，从图像上判断，在函数(y=f(x))的哪一段上满足(f(x))的图像一直在直线(y=-cfrac{8}{9})的上方。
解析：令(x+1=t)，则(x=t-1)，即给定条件(f(x+1)=2f(x))变形为(f(t)=2f(t-1))，
即(f(x)=2f(x-1)star)，这是我们下来变换要使用的重要的表达式；
由于(xin (0，1])时，(f(x)=x(x-1))①，
则当(xin (1，2])时，(x-1in (0，1])，则由(star)和①式得到，即(f(x)=2f(x-1)=2(x-1)(x-2))②；
当(xin (2，3])时，(x-1in (1，2])，则由(star)和②式得到，即(f(x)=2f(x-1)=2 imes 2[(x-1)-1][(x-2)-1]=4(x-2)(x-3))③；
以下区间的解析式求解用不上，不过我们还是看看，
当(xin (3，4])时，(x-1in (2，3])，则由(star)和③式得到，此时(f(x)=2f(x-1)=2 imes 4[(x-1)-2][(x-1)-3]=8(x-3)(x-4))④；
同理，我们还可以求得(xin (-1，0])时的解析式；
则当(xin (-1，0])时，(x+1in (0，1])，则由(f(x+1)=2f(x))得到，即(f(x)=cfrac{1}{2}f(x+1)=cfrac{1}{2}x(x+1))⑤；
在坐标系中做出分段函数在区间((-1，3])上的图像以及直线(y=-cfrac{8}{9})，
由图像可知，我们求解方程(4(x-2)(x-3)=-cfrac{8}{9})，解得(x=cfrac{7}{3})或(x=cfrac{8}{3})(结合图像舍去)
即(m=cfrac{7}{3})，故选(B)。
解后反思：
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1、本题目涉及到的知识点比较多：分段函数，求解析式，换元法，二次函数，数形结合等等；
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2、对表达式(f(x)=2f(x-1))的理解，它是两种变换，比如平移变换(f(x)=f(x-1))和振幅变换(f(x)=2f(A))的融合，理解了本题目后，以后碰到类似题目，我们就可知这样理解，(f(x-1))的意思是将基础图像(y=x(x-1))向右平移一个单位，再乘以(2)，意思是在原来平移的图像的基础上在(y)轴方向扩大(2)倍，这样做图像就快多了。
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3、我们还可以不详细求解各区间段上的解析式，而利用图像直接写出解析式。比如向右平移一次后我们知道，函数图像经过点((1，0))和((2，0))，则解析式为(y=a(x-1)(x-2))，且知道最低点为((cfrac{1}{2}，-cfrac{1}{2}))，可知(a=2)，即(xin (1，2])时，(f(x)=2(x-1)(x-2))；
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4、能不能不做变换，直接利用(f(x+1)=2f(x))来求解析式呢？也可以，不过你必须始终紧紧盯住自变量(x)的取值不放，
比如(xin (0，1])时，(f(x)=x(x-1))，由(f(x+1)=2f(x))，先求得(f(x+1)=2x(x-1))，注意到(x+1in (1，2])，要求解(xin (1，2])上的解析式，还得换元，令(x+1=tin (1，2])，则(x=t-1)，代入(f(x+1)=2x(x-1))，变形得到(f(t)=2(t-1)(t-2))，(tin (1，2])，即(f(x)=2(x-1)(x-2))，(xin (1，2]).
- 5、注意函数的解析式的写法和理解。
形式一：(f(x)=left{egin{array}{l}{x(x-1)，xin(0，1]}\{2(x-1)(x-2)，xin(1，2]}\{4(x-2)(x-3)，xin(2，3]}\{8(x-3)(x-4)，xin(3，4]}\{cdots，cdots}end{array} ight.)
形式二：(f(x)=left{egin{array}{l}{x(x-1)，xin(0，1]}\{2f(x-1)，x>1}end{array} ight.)