前言
恒成立和能成立命题是高中数学中一个非常重要的知识点，考查频次很高，由于借助这个命题能很好的考查学生的知识理解掌握能力，还能考查学生遇到新问题时的转化化归能力，考查学生思维的灵活性，所以是高考命题人的最爱之一，需要引起学生的广泛关注。而且其涵盖的数学素材很广，一定要认真学习和掌握。
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1、二次不等式恒成立问题；
说明：我们所说的不等式恒成立，一般指的是更复杂形式的不等式的恒成立问题，而有些这样的问题经过转化往往会转化为二次不等式恒成立的问题，故还需要我们理解和掌握二次不等式恒成立问题。
恒成立模型
(Aleq f(x))在区间([m，n])上恒成立，等价于(Aleq f(x)_{min})；(Age f(x))在区间([m，n])上恒成立，等价于(Age f(x)_{max})；
说明：上述模型是最精简的模型，具体题目中一般不是这样的，需要我们做相应的转化化归。比如(ln(x+1)+cfrac{a}{x+2}>1)对任意(x>0)成立，则可以转化为(a>(x+2)[1-ln(x+1)])恒成立，比如(x^2+e^x+age 0)对任意实数恒成立，可以化归为(age -x^2-e^x)，这样就都属于上述类型。
化归为恒成立
- ⒈明确以恒成立命题形式给出的；
分析：用分离参数法，转化为(aleq x+cfrac{2}{x}=g(x))在区间([2，5])上恒成立，即(aleq g(x)_{min}=3)；
或二次函数数形结合法，针对对称轴和区间的位置关系分类讨论求解。
- ⒉以集合、子集形式或定义域的形式给出的，比如解集为(R)；
分析：由(Delta=a^2-8 leq 0)求解得到(ain [-2sqrt{2}，2sqrt{2}])
分析：由(2^{x^2-2ax+a}-1ge0)得到，(x^2-2ax+age 0)的解集为(R)，求解得到(ain [0，1])
分析：由题可知，(|x-2|+|x-a|<2)在((2，3))上恒成立，即(x-2+|x-a|<2)在((2，3))上恒成立，即(|x-a|<4-x)在((2，3))上恒成立，
即(x-4 < x-a < 4-x)在((2，3))上恒成立，即(2x-4< a <4)在((2，3))上恒成立，
即((2x-4)_{max}< a <4)在((2，3))上恒成立，即(2leq a <4)。
- ⒊以简单逻辑用语给出的，比如真命题，假命题，或充要条件，全称命题
分析：即(x^2-ax+2ge 0)为真命题，也即(x^2-ax+2ge 0)恒成立；
命题的否定：“( eg P：forall xin R，2^x-2> a^2-3a)”是真命题，则实数(a)的取值范围是__________。
分析：由题目可知，命题“( eg P：forall xin R，2^x-2> a^2-3a)”是真命题，即(2^x-2> a^2-3a)对(forall xin R)恒成立，
故只需求((2^x-2)_{min})，而(2^x-2>-2)，则有(-2ge a^2-3a)，即(a^2-3a+2leq 0)，
解得(1leq aleq 2)，故实数(a)的取值范围是([1，2])。
- ⒋以不等式无解的形式给出的；
（1）当(a=2)时，若(f(x) < x)无解，求(t)的取值范围；
分析：当(a=2)时，(f(x)=log_2(4^x+t))，定义域为(R)，
则由(f(x)< x)无解，可知不等式(f(x) < x)的解集为(xin varnothing)，
则不等式(f(x)ge x)的解集为(xin R)，即(f(x)ge x)在(R)上恒成立，
即(log_2(4^x+t)ge x=log_22^x)在(R)上恒成立，
故(4^x+tge 2^x)在(R)上恒成立，分离参数得到，
(tge 2^x-4^x)在(R)上恒成立，
令(2^x=k >0)，则(2^x-4^x=k-k^2=g(k)(k >0))，需要求(g(k)_{max})，
又(g(k)=-k^2+k=-(k-cfrac{1}{2})^2+cfrac{1}{4})，
故(g(k)_{max}=g(cfrac{1}{2})=cfrac{1}{4})，
故(tge cfrac{1}{4})，即(tin [cfrac{1}{4}，+infty))。
- ⒌以不等式形式给出的；
(1)当(a=1)时，求不等式(f(x)ge 0)的解集。
分析：分区间讨论法，解集为([-2，3])，详解过程略。
(2)若(f(x)leq 1)，求(a)的取值范围。
分析：本题目没有给定解集(D)，却需要求参数(a)的取值范围，那我们可以这样想，
对于未知解集(D)内的任意一个(x)，必然满足(f(x)leq 1)，即对解集(D)而言，不等式(f(x)leq 1)恒成立，
即(5-|x+a|-|x-2|leq 1)恒成立，即(|x+a|+|x-2|ge 4)恒成立，
这样难点就转换为求((|x+a|+|x-2|)_{min})，
又(|x+a|+|x-2|ge |(x+a)-(x-2)|=|a+2|)，
即((|x+a|+|x-2|)_{min}=|a+2|)，
即(|a+2|ge 4)，则(a+2ge 4)或(a+2leq -4)
解得(aleq -6)或(age 2)。
- ⒍在某个区间(D)上函数单调递增；
法1：二次函数法，针对对称轴和区间([2，5])的位置关系分类讨论求解；
法2：导数法，则有(f'(x)=2x-age0)对(xin [2，5])恒成立，即(aleq 2x)对(xin [2，5])恒成立；
即(aleq (2x)_{min})，当(2leq xleq 5)时，((2x)_{min}=4)，故(aleq4)
- ⒎以证明题形式给出的；
- ⒏以数学概念或函数性质转化而成的恒成立；
分析：A选项，存在(ain R)，使得函数(f(x))为奇函数；若此选项正确，存在实数(a)，则对任意(x eq 0)，(f(-x)=-f(x))要恒成立，
即(x^2-cfrac{a}{x}=-x^2-cfrac{a}{x})要恒成立，即(-x^2=x^2)，不是对任意(x eq 0)都恒成立的，故A选项错误；
B选项，任意(ain R)，使得函数(f(x))为偶函数；若此选项正确，任意实数(a)，则对任意(x eq 0)，(f(-x)=f(x))要恒成立，
即(x^2-cfrac{a}{x}=x^2+cfrac{a}{x})要恒成立，即(cfrac{2a}{x}=0)，不是对任意(x eq 0)都恒成立的，故B选项错误；
C选项，任意(a>0)，使得函数(f(x))在((-infty，0))上为减函数；若此选项正确，对任意实数(a>0)，
则对任意(x< 0)，(f'(x)=2x-cfrac{a}{x^2}<0)恒成立，即函数(f(x))在((-infty，0))上为减函数，故C选项正确；
D选项，存在(a>0)，使得函数(f(x))在((0，+infty))上为减函数；若此选项正确，存在实数(a>0)，则对任意(x>0)，
必须(f'(x)=2x-cfrac{a}{x^2}=cfrac{2x^3-a}{x^2}<0)要恒成立，但是并不能保证(f'(x)<0)恒成立，
即函数(f(x))在((-infty，0))上为减函数是错误的，故D选项错误；综上，正确选项为(C)。
- ⒐以不等式的解集包含某个区间的形式给出；
(1).当(a=1)时，求不等式(f(x)geqslant 5)的解集；
分析：用分区间讨论法，求解得到解集为({xmid xleqslant -3或xgeqslant 2}).
(2).若(f(x)leqslant 3-x)的解集为(A)且([-4，-2])是集合(A)的子集，求(a)的取值范围。
分析：由题意可知，(f(x)leqslant 3-x)在区间([-4，-2])上恒成立，
即(|ax-1|-x-2leqslant 3-x)在区间([-4，-2])上恒成立，即(|ax-1|leqslant 5)在区间([-4，-2])上恒成立，
即(-4leqslant axleqslant 6)在区间([-4，-2])上恒成立，由于(xin [-4，-2])
则(left{egin{array}{l}{-4leqslant -4aleqslant 6}\{-4leqslant -2aleqslant 6}end{array} ight.quad) 即(left{egin{array}{l}{-cfrac{3}{2}leqslant aleqslant 1}\{-3leqslant aleqslant 2}end{array} ight.)，解得即(-cfrac{3}{2}leqslant aleqslant 1)
故(a)的取值范围是([-cfrac{3}{2}，1]).
(2)若不等式(f(x)ge g(x))的解集包含([-1，1])，求(a)的取值范围。
【法1】：数形结合法，函数(f(x)=-x^2+ax+4)，对称轴为(x=cfrac{a}{2})，开口向下，由有图可知，要使得不等式(f(x)ge g(x))的解集包含([-1，1])，
只需要满足条件(egin{cases}f(-1)ge 2\f(1)ge 2end{cases})，解得(egin{cases}aleq 1\age -1end{cases})，故(a)的取值范围为([-1，1])。
【法2】：转化为不等式恒成立求解，当(xin [-1，1])时，(g(x)=2)，
由题目可知，不等式(f(x)ge 2)的解集包含([-1，1])，即当(xin [-1，1])时，(f(x)ge 2)恒成立，即(-x^2+ax+2ge 0)恒成立，
令(h(x)=-x^2+ax+2)，则只需满足条件(egin{cases}h(-1)ge 0\h(1)ge 0end{cases})，解得(-1leq a leq 1)，故(a)的取值范围为([-1，1])。
【法3】：恒成立+分离参数法
当转化得到(xin [-1，1])时，(f(x)ge 2)恒成立，即(-x^2+ax+2ge 0)恒成立，接下来准备分离参数：
(1^。)当(x=0)时，代入得到(2ge 0)，即(ain R)；
(2^。)当(x<0)时，由(axge x^2-2)分离参数得到(aleq cfrac{x^2-2}{x}=x-cfrac{2}{x})，
令(h(x)=x-cfrac{2}{x})，(h(x))在区间((-1，0))上单调递增，图像说明，
故(h(x)_{min} ightarrow h(-1)=1)即(aleq 1)；
(3^。)当(x>0)时，由(axge x^2-2)分离参数得到(age cfrac{x^2-2}{x}=x-cfrac{2}{x})，
令(h(x)=x-cfrac{2}{x})，(h(x))在区间((0，1))上单调递增，故(h(x)_{max} ightarrow h(1)=-1)即(age -1)；
综上所述，由于三种情形下都要成立，故需要取其交集得到(a)的取值范围为([-1，1])。
- ⒑一个恒成立问题用符号法则裂变成两个恒成立问题；
（I）求函数(f(x))的解析式；
（Ⅱ）若对任意(x∈[-1，1])，不等式(f(x+t)＜f(frac{x}{3}))恒成立，求实数(t)的取值范围．
解析：（I）由题意得：(f（-2）=4a-2b+c=0①)，
因为不等式(2x≤f（x）≤frac{1}{2}x^2+2)对一切实数x都成立，
令(x=2)，得：(4≤f（x）≤4)，所以(f（2）=4)，即(4a+2b+c=4②)
由①②解得：(b=1，且c=2-4a，)
所以(f（x）=ax^2+x+2-4a)，
由题意得：(f（x）-2x≥0)且(f（x）-frac{1}{2}x^2-2≤0)对(x∈R)恒成立，
即(egin{cases}ax^2-x+2-4age 0③\(a-frac{1}{2})x^2+x-4aleq 0 end{cases})对(xin R)恒成立，
对③而言，由(a>0)且(Delta =1-4a(2-4a)leq 0)，得到((4a-1)^2leq 0)，所以(a=frac{1}{4})，经检验满足，
故函数(f(x))的解析式为(f(x)=frac{1}{4}x^2+x+1)。
（Ⅱ）法一：二次函数法，由题意，$ f(x+t) < f(frac{x}{3})$ 对 (xin [-1，1])恒成立，
可转化为(frac{1}{4}(x+t)^2+(x+t)+1<frac{1}{4}(frac{x}{3})^2+frac{x}{3}+1)对(xin [-1，1])恒成立，
整理为(8x^2+(18t+24)x+9t^2+36t<0)对(xin [-1，1])恒成立，
令(g(x)=8x^2+(18t+24)x+9t^2+36t)，则有(egin{cases}g(-1)<0\g(1)<0end{cases})，
即有(egin{cases}9t^2+18t-16<0\9t^2+54t+32<0end{cases})，
解得(egin{cases}-frac{8}{3}< t <frac{2}{3}\-frac{16}{3}< t <-frac{2}{3}end{cases})，
所以(t)的取值范围为(-frac{8}{3}< t <-frac{2}{3})。
法二，利用乘积的符号法则和恒成立命题求解，
由(1) 得到，(f(x)=cfrac{1}{4}(x+2)^2)，
(f(x+t) < f(cfrac{x}{3}))对(xin [-1，1])恒成立，
可转化为(frac{1}{4}(x+t+2)^2<frac{1}{4}(frac{x}{3}+2)^2)对(xin [-1，1])恒成立，
得到((x+t+2)^2-(frac{x}{3}+2)^2<0)对(xin [-1，1])恒成立，
平方差公式展开整理，即((frac{4x}{3}+t+4)(frac{2x}{3}+t)<0)，
即(egin{cases}frac{4x}{3}+t+4<0\ frac{2x}{3}+t >0end{cases})对(xin [-1，1])恒成立，或(egin{cases}frac{4x}{3}+t+4>0\frac{2x}{3}+t <0end{cases})对(xin [-1，1])恒成立；
即(egin{cases}t <(-frac{4x}{3}-4)_{min}\t >(-frac{2x}{3})_{max}end{cases})，或(egin{cases}t >(-frac{4x}{3}-4)_{max}\t <(-frac{2x}{3})_{min}end{cases})，
(egin{cases}t <-frac{16}{3}\t >frac{2}{3}end{cases})，或(egin{cases}t >-frac{8}{3}\t <-frac{2}{3}end{cases})，
即(xin varnothing) 或(-frac{8}{3}< t <-frac{2}{3})，
所以(t)的取值范围为(-frac{8}{3}< t <-frac{2}{3})。
点评：①注意由(kleq f(x)leq k)得到(f(x)=k)的结论的使用。
②二次函数(f(x)=ax^2+bx+c(a>0))在区间([m，n])上恒有(f(x)<0)成立，等价于(f(m)<0)且(f(n)<0)。
③乘积的符号法则(acdot b<0)等价于(a>0)且(b<0)或者(a<0)且(b>0)；
④恒成立的模型(A>f(x))恒成立等价于(A> f(x)_{max})，(A < f(x))恒成立等价于(A < f(x)_{min})；
⑤平方差公式的主动灵活运用。
- ⒒含有绝对值符号(一个或两个)的恒成立问题；
【分析】利用函数的单调性去掉绝对值符号，构造新函数，可以将问题再次转化为恒成立，然后分离参数求解。
【解答】不妨设(m>n)，则函数(f_1(x))在区间([0，1])上单调递增，故(f_1(m)-f_1(n)>0)，
又(f_2(x)=a(x-1)^2+b-a)，对称轴是(x=1)，开口向上，
故函数(f_2(x))在区间([0，1])上单调递减，故(f_2(m)-f_2(n)<0)，
这样对任意的(m，n∈[0，1](m>n))，(|f_1(m)-f_1(n)|>|f_2(m)-f_2(n)|)恒成立，
就可以转化为(f_1(m)-f_1(n)>f_2(n)-f_2(m))恒成立，
即(f_1(m)+f_2(m)>f_1(n)+f_2(n))恒成立，
令(h(x)=f_1(x)+f_2(x)=e^x+ax^2-2ax+b)，
则到此的题意相当于已知(m >n)时，(h(m)>h(n))，
故函数(h(x))在区间([0，1])上单调递增，故(h'(x)≥0)在区间([0，1])上恒成立；
即(h'(x)=e^x+2ax-2a≥0)在区间([0，1])上恒成立；
即(2a(1-x)≤ e^x)恒成立，这里我们使用倒数法分离参数得到，
(cfrac{1}{2a}≥cfrac{1-x}{e^x})在区间([0，1])上恒成立；
再令(p(x)=cfrac{1-x}{e^x})，即需要求(p(x)_{max})，
(p'(x)=cfrac{-1×e^x-(1-x)e^x}{(e^x)^2}=cfrac{x-2}{e^x})，
容易看出，当(x∈[0，1])时，(p'(x)<0)恒成立，故(p(x))在区间([0，1])上单调递减，
则(p(x)_{max}=p(0)=1)，故(cfrac{1}{2a}≥1)，又(a >0)，
故解得(0< a ≤1)。故(a_{max}=1).
【点评】出现函数值的差的绝对值问题，常常想到利用函数的单调性去掉绝对值符号进行转化；另外在分离参数时如果按照常规方法分离需要分类讨论，这里使用了倒数法分离参数，就能很好的避免分类讨论，嵌套的层次比较多，运算量比较多，是个难题。
- ⒓以函数图像的位置高低的形式给出；
分析：(f(x))的图象恒在函数(g(x))图象的上方，即为(|x－2|>－|x＋3|＋m)对任意实数(x)恒成立，
即(|x－2|＋|x＋3|>m)对任意实数(x)恒成立，
又对任意实数(x)恒有(|x－2|+|x＋3|geqslant |(x－2)-(x＋3)|=5)，于是得(m<5)，
即(m)的取值范围是((-infty，5))．
转化以后
- 先考虑能否分离参数，参见分离参数法；
如果能，转化为(Age f(x))恒成立，则需要求函数(f(x))的最值，函数如果形式简单，不用导数法，如果复杂，需要用导数法；如果不能，
- 再考虑数形结合，即左右两端的函数中，有一个带有参数，考虑其几何意义。
注意事项
1、有恒字的不一定是恒成立命题，如两个函数图像恒有交点，即两个函数图像至少有一个交点，其实是能成立命题。没有恒字的不一定不是恒成立命题。
2、不等式无解应该等价转化为不等式恒成立。比如，(f(x)< x)在(R)上无解，即意味着不等式(f(x)< x)的解集为(xin varnothing)，那么不等式(f(x)ge x)在(R)上应该是恒成立的，即不等式(f(x)ge x)的解集为(xin R)，
引例，比如不等式(e^x< x)无解，即不等式(e^xge x)的解集为(xin R)，即(xin R)时，不等式(e^x > x)恒成立。
3、注意细节上的变化
若(Aleq f(x))在区间((m，n))上恒成立，等价于(Aleq f(x)_{min})或最小值的极限。
若(A< f(x))在区间((m，n))上恒成立，等价于(Aleq f(x)_{min})或最小值的极限。