前言
案例解释
以二次三项式(2x^2+3x-2)的分解为例，先将二次项的系数(2)进行分解(2 imes 1)，再将常数项(-2)进行分解(-2 imes 1)，然后分别竖行书写，交叉相乘再相加，若其和等于一次项的系数，则分解成功；若其和不等于一次项的系数，则分解不成功，需要调整前边的分解位置。具体解释如下：
比如书写为(_1^2) (Large{ imes}) (_{;;1}^{-2})，验证，(2 imes1+1 imes(-2)=0 eq 3)，故分解失败，需要调整，如下再试，
(_2^1) ( imes) (_{;;1}^{-2})，验证，(1 imes1+2 imes(-2)=-3 eq 3)，故分解失败，需要调整，如下再试，
(_2^1) ( imes) (_{-1}^{;;2})，验证，(1 imes(-1)+2 imes 2=3)，分解成功，这样就能直接写出两个因式，将左式改写为
(_{2cdot x}^{1cdot x}) ( imes) (_{-1}^{+2})，然后横行写出即可，((1x+2)(2x-1))；
故(2x^2+3x-2=(2x-1)(x+2))。
十字相乘法的使用往往不是一次就能恰巧分解成功的，需要多次尝试，以及一定的口算心算能力。
难点破解
在具体的教学实践中，数字系数的十字相乘分解基本不成问题，难在字母系数的分解；
比如，(x^2-(m+4)x+m+3<0)，系数分解为(_1^1) ( imes) (_{;;-1}^{-(m+3)})，即可以分解为((x-1)[x-(m+3)]<0)；
再比如，(x^2-(a+a^2)x+a^3leq 0)，系数分解为(_1^1) ( imes) (_{-a}^{-a^2})，即可以分解为即((x-a)(x-a^2)leq 0)；
常用分解
①(x^2-5sqrt{2}x+8ge 0)，即((x-sqrt{2})(x-4sqrt{2})ge 0)；
②(x^2-(2m+1)x+m^2+m-2leq 0)，即([x-(m+2)][x-(m-1)]leq 0)；
③(x^2-3mx+(m-1)(2m+1)ge 0)；即([x-(m-1)][x-(2m+1)]ge 0)；
④(x^2+(a+a^2)x+a^3leq 0)，即((x+a)(x+a^2)leq 0)；
⑤(x^2-(a+1)x+aleq 0)，即((x-1)(x-a)leq 0)；
⑥(x^2-(2a+1)x+a(a+1)leq 0)；即((x-a)[x-(a+1)]leq 0)；
⑦(frac{x-2a}{x-(a^2+1)}<0(a eq 1))；即((x-2a)[x-(a^2+1)]<0)，解集为((2a，a^2+1))；
⑧(x^2+(m+4)x+m+3<0)，即((x+1)[x+(m+3)]<0)；
⑨(x^2-(a+cfrac{1}{a})x+1<0)，即((x-a)(x-cfrac{1}{a})<0)；
⑩(x^2-2x+1-a^2 geqslant 0(a>0))，即([x-(1-a)][x-(1+a)]geqslant 0)；
⑾(cfrac{x-a}{x-a-1}>0)，即((x-a)[x-(a+1)]>0)；
12、(2sin^2alpha-cfrac{6sqrt{2}}{5}sinalpha-cfrac{7}{25}=0)，即((sqrt{2}sinalpha+cfrac{1}{5})(sqrt{2}sinalpha-cfrac{7}{5})=0)
13、(x^2-4x-a(a-4)=0)，即((x-a)[x-(4-a)]=0);
特殊情形
⑿(ab-a-b+1geqslant 0)，即((a-1)(b-1)geqslant 0)；
⒀(a^2-3ab+2b^2leqslant 0)，即((a-b)(a-2b)leqslant 0)；或((cfrac{a}{b})^2-3(cfrac{a}{b})+2leqslant 0)；
- 当系数里包含有无理数时，尽量不要尝试用十字相乘法分解，应该考虑公式法。
引例，如解不等式(t^2-20sqrt{2}t+175leqslant 0)，
不应该考虑十字相乘法分解，应该考虑公式法。
对方程(t^2-20sqrt{2}t+175=0)而言，其求根公式为
(t=cfrac{20sqrt{2}pmsqrt{(20sqrt{2})^2-4 imes 175}}{2 imes1}=cfrac{20sqrt{2}pm 10}{2}=10sqrt{2}pm 5)
解得(10sqrt{2}-5leqslant t leqslant 10sqrt{2}+5)
高阶情形
在高三的常见题目中，可能更多见的是这样的：(x)的本质为代数式，(x ightarrow e^x)
(f'(x)=e^x(e^x-a)+e^xcdot e^x-a^2)
(=2e^{2x}-e^xa-a^2=2(e^x)^2-(e^x)a-a^2)
(=(e^x-a)cdot (2e^x+a))，
其中(2(e^x)^2-(e^x)a-a^2=2t^2-at-a^2)(令(e^x=t))的分解形式如下：
故(f'(x)=(t-a)(2t+a)=(e^x-a)cdot (2e^x+a))，