前言
从网上得到启示，才着手整理总结了自己近几年高三一线教学体会，本博文主要涉及有关运算的方面的化简技巧和常用公式，整理的初衷就是看，能不能帮助提升学生的运算能力。实际更多的想法是抛砖引玉，让高三学生自己仿照着自己整理总结，坚持一段时间，你会发现你做的更好。
另外提醒学生还要注意体会数学化简中的化简方向和化简方法；2019高考数学Ⅱ卷的第4题，让许多学生不知所云，就是例证。
已知公式：(cfrac{M_1}{(R+r)^2}+cfrac{M_2}{r^2}=(R+r)cfrac{M_1}{R^3})，且已知(alpha=cfrac{r}{R})，(cfrac{3alpha^3+3alpha^4+alpha^5}{(1+alpha)^2}approx 3alpha^3)，试用(M_1)，(M_2)，(R)表示(r)的近似值；
具体的分析求解过程：请参阅，2019高考数学理科Ⅱ卷解析版
代数部分
- 0、混合组运算技巧：求解方程等式然后验证不等式；
比如求解混合组：(left{egin{array}{l}{4(a^2+1)-4(a^2-1)>0①}\{-2(a+1)=-4②}\{a^2-1=0③}end{array} ight.)
最快的解法是口算②式，得到(a=1)，代入③式口算验证成立，再代入①式口算验证成立，故上述结果为(a=1).
- 1、四则运算的互化
加法变减法，(cfrac{y+2}{x+1}=cfrac{y-(-2)}{x-(-1)})；比如用在斜率公式中。
乘法变除法，(3x^2+4y^2=1)变形为(cfrac{x^2}{frac{1}{3}}+cfrac{y^2}{frac{1}{4}}=1)，比如用在求长轴和短轴的长。
将(x_{0}x+y_{0}y=1)变形为(cfrac{x}{frac{1}{x_0}}+cfrac{y}{frac{1}{y_0}}=1)，比如用在求(x)截距和(y)截距；
一般方法(cfrac{2}{sqrt{2}}=cfrac{2cdot sqrt{2} }{sqrt{2}cdot sqrt{2}}=sqrt{2})；
更快算法(cfrac{2}{sqrt{2}}=cfrac{sqrt{2}cdot sqrt{2}}{sqrt{2}}=sqrt{2})；
(i^2=-1)，则(-1=i^2)，故(-1+2i=i(i+2))；
一般方法(cfrac{-1+2i}{2+i}=cfrac{(-1+2i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=cfrac{-2+i+4i-2i^2}{5}=cfrac{5i}{5}=i)，
更快的算法(cfrac{-1+2i}{2+i}=cfrac{i(2+i)}{2+i}=i)
- 2、 繁分式化简分式 ：
(cfrac{frac{1}{a}+frac{2}{b}+frac{1}{c}}{frac{3}{ac}-frac{1}{b}+frac{4}{bc}}=cfrac{(frac{1}{a}+frac{2}{b}+frac{1}{c}) imes abc}{(frac{3}{ac}-frac{1}{b}+frac{4}{bc}) imes abc}=cfrac{bc+2ac+ab}{3b-ac+4a})；同乘
- 3、分式中负指数幂化为正指数幂：
(cfrac{a^x+a^{-x}}{a^x-a^{-x}}=cfrac{(a^x+a^{-x}) imes a^x}{(a^x-a^{-x}) imes a^x}=cfrac{a^{2x}+1}{a^{2x}-1})；同乘
- 4、指数运算、对数运算、根式运算
- 5、齐次式变形，为函数求值域，三角函数化简、变形、求值做准备：
①(z=cfrac{a+sqrt{2}b}{sqrt{2}a+b})；分子分母同除以(b)变形得到，(z=cfrac{frac{a}{b}+sqrt{2}}{sqrt{2}frac{a}{b}+1}xlongequal{t=frac{a}{b}}cfrac{t+sqrt{2}}{sqrt{2}t+1})
②(z=cfrac{2a^2+4ab-3b^2}{a^2+ab+b^2})；分子分母同除以(b^2)变形得到，(z=cfrac{2(frac{a}{b})^2+4frac{a}{b}-3}{(frac{a}{b})^2+frac{a}{b}+1}xlongequal{t=frac{a}{b}}cfrac{2t^2+4t-3}{t^2+t+1})
③(cfrac{asin heta+bcos heta}{csin heta+dcos heta}xlongequal[分子分母是sin heta,cos heta的一次齐次式]{分子分母同除以cos heta}cfrac{a an heta+b}{c an heta+d}) ((a,b,c,d)为常数)；
④(cfrac{sin2 heta-cos^2 heta}{1+sin^2 heta}=cfrac{2sin heta cos heta-cos^2 heta}{2sin^2 heta+cos^2 heta}xlongequal[分子分母是sin heta,cos heta的二次齐次式]{分子分母同除以cos^2 heta}cfrac{2tan heta-1}{2tan^2 heta+1})
⑤(a^2-5ac+4c^2>0)，同除以(c^2)得到，((cfrac{a}{c})^2-5cfrac{a}{c}+4>0)，得到(cfrac{a}{c}<1)或(cfrac{a}{c}>4)；
- 4、除法分配律(分数裂项)，分式变形时最常用。
(①cfrac{b+c}{a}=cfrac{b}{a}+cfrac{c}{a})；(②cfrac{a-b}{ab}=cfrac{1}{b}-cfrac{1}{a})；
但是她更多的时候表示为整式形式，如(a_n-a_{n+1}=ka_{n+1}a_n)，
两边同除以(a_{n+1}a_n)，可以变形为(cfrac{1}{a_{n+1}}-cfrac{1}{a_n}=k)；
- 5、分子常数化(化为部分分式，也可以理解为使用了变量集中策略，这样的变形在研究函数的单调性，值域等问题时使用频度比较高)
(①y=cfrac{2x-1}{x-1}=cfrac{(2x-2)+1}{x-1}=2+cfrac{1}{x-1})；
(②y=cfrac{2x}{x+4}=cfrac{2}{1+frac{4}{x}})；
(③y=cfrac{a^x-1}{a^x+1}=cfrac{(a^x+1)-2}{a^x+1}=1-cfrac{2}{a^x+1})；
(④y=cfrac{2x^2-4x+3}{x-1}=cfrac{2(x-1)^2+1}{x-1}=2(x-1)+cfrac{1}{x-1})；[1]
- 6、分母有理化，常常为数列中的裂项相消法准备：
①(cfrac{1}{sqrt{a}+sqrt{b}}=cfrac{1cdot(sqrt{a}-sqrt{b})}{(sqrt{a}+sqrt{b})(sqrt{a}-sqrt{b})}=cfrac{sqrt{a}-sqrt{b}}{a-b})；
②(cfrac{1}{sqrt{x^2+1}-x}=cfrac{1cdot (sqrt{x^2+1}+x)}{(sqrt{x^2+1}-x)(sqrt{x^2+1}+x)}=sqrt{x^2+1}+x)；[2]
③(cfrac{1}{sqrt{x^2+1}+x}=cfrac{1cdot (sqrt{x^2+1}-x)}{(sqrt{x^2+1}-x)(sqrt{x^2+1}+x)}=sqrt{x^2+1}-x)；
- 7、分子有理化，常常为求函数或数列的极限或大小比较而准备：
①(sqrt{a}-sqrt{b}=cfrac{(sqrt{a}-sqrt{b})(sqrt{a}+sqrt{b})}{1cdot (sqrt{a}+sqrt{b})}=cfrac{a-b}{sqrt{a}+sqrt{b}})；
②(sqrt{n^2+1}-n=cfrac{sqrt{n^2+1}-n}{1}=cfrac{(sqrt{n^2+1}-n)(sqrt{n^2+1}+n)}{1cdot (sqrt{n^2+1}+n)}=cfrac{1}{sqrt{n^2+1}+n})；[3]
- 8、配方，为二次函数对称轴，圆锥曲线方程等准备：①②③④⑤⑥
①(a^2pm ab+b^2=(apm cfrac{b}{2})^2+cfrac{3}{4}b^2)；②(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab)；(常与韦达定理相关，与解析几何或坐标系与参数方程题目相关)
③(x^2+cfrac{1}{x^2}=(x+cfrac{1}{x})^2-2)；④(y=ax^2+bx+c=a(x+cfrac{b}{2a})^2+cfrac{4ac-b^2}{4a}(a eq 0))(二次函数对称轴)
⑤(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=cfrac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]ge 0)(与均值不等式相关，常引申为(a^2+b^2+c^2ge ab+bc+ac(当且仅当a=b=c时取到等号)))
- 9、因式分解、乘法公式，常与解方程，解不等式相关：
①(a^2-b^2=(a+b)(a-b))；②((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc)；
③(a^2pm 2ab+b^2=(apm b)^2)；④(a^3pm b^3=(apm b)(a^2mp ab+b^2))；
⑤((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)；⑥((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3)；[4]
- 10、整体代换，常与函数的变形、函数的性质的变换和推导有关，
①、(f(x+4)=f(x))或者(f(x+2)=f(x-2)Longrightarrow T=4)；
②、(f(x+a)=-f(x)Leftrightarrow f(x+a)+f(x)=0Longrightarrow T=2a;;;;;)[5]
(f(x+a)=b-f(x)Leftrightarrow f(x+a)+f(x)=bLongrightarrow T=2a;;;;;)[6]
③、(f(x+a)=cfrac{k}{f(x)}(k eq 0)Leftrightarrow f(x+a)f(x)=k Longrightarrow T=2a);[7]
④、(f(x+2)=f(x+1)-f(x)Longrightarrow f(x+3)=-f(x)Longrightarrow T=6)
或者(f(n+2)=f(n+1)-f(n)Longrightarrow f(n+3)=-f(n)Longrightarrow T=6)
⑤、抽象函数的对称性
⑥、函数性质的综合运用
- 11、常数代换
①(cfrac{1-tan15^{circ}}{1+tan15^{circ}}=cfrac{tan45^{circ}-tan15^{circ}}{1+tan45^{circ}cdot tan15^{circ}}= an30^{circ}=cfrac{sqrt{3}}{3}).
②(a+b=2)，且(a>0)，(b>0)，求(cfrac{1}{a}+cfrac{2}{b})的最小值；
③(1=sin^2 heta+cos^2 heta=tan45^{circ}=log_abcdot log_ba=2sin30^{circ})；
④解对数不等式中的常数对数化，如(3=log_28)；解指数不等式中的常数指数化，如(3=2^{log_23})；
⑤
- 12、能合二为一或一分为二数学素材
相关阅读：能合二为一或一分为二数学素材；
- 13、需要化简的数学素材
相关阅读：需要化简的数学素材；
注意分析具体题目中的化简方向和变形方向。[8]
- 14、 将参数方程代入曲线中的运算小技巧，
比如将(x=-1+tcosalpha)，(y=1+tsinalpha)代入圆方程(x^2+y^2-4x=0)，注意对齐书写
(演草纸上如右操作，省时省力；left{egin{array}{l}{1-2tcosalpha+t^2cos^2alpha}\{1+2tsinalpha+t^2sin^2alpha}\{4-4tcosalpha}end{array} ight.)
整理得到，(t^2+(2sinalpha-6cosalpha)t+6=0)。
- 15、一元二次方程相关，设(ax^2+bx+c=0（a eq 0）)的两个根为(x_1，x_2)，(Delta=b^2-4ac)，
①求根公式：(x_{1，2}=cfrac{-bpm sqrt{b^2-4ac}}{2a}（Delta >0）)；(|x_1-x_2|=sqrt{(x_1-x_2)^2}=sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=cfrac{sqrt{Delta }}{|a|})；
②韦达定理：(egin{cases} x_1+x_2=-cfrac{b}{a} \ x_1x_2=cfrac{c}{a} end{cases})，如果解关于(x_1，x_2)的二元方程，就可以通过构造方程(x^2+cfrac{b}{a}x+cfrac{c}{a}=0)再解。
③因式分解：(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2))；
④【补充】(ax+b=0)对所有(xin R)都成立，则等价于(a=b=0)；(am+bn=0)对所有(m，nin R)都成立，则等价于(a=b=0)；
(ax^2+bx+c=0)对所有(xin R)都成立，则等价于(a=b=c=0)；(am^2+bmn+cn^2=0)对所有(m，nin R)都成立，则等价于(a=b=c=0)；
- 16、三角形的基础知识相关
①三边关系：(a+b>c)且(b+c>a)且(c+a>b)，由这个关系可以推出任意两边之差小于第三边；故只需要记忆一组公式即可。
②(n)边形内角和((n-2)cdot 180^{circ})；(n)边形外角和：(360^{circ})；
③(a>b Leftrightarrow A>B)；延伸到高中得到(a>b Leftrightarrow A>BLeftrightarrow sinA>sinB Leftrightarrow cosA<cosB)；
- 17、引入比例因子简化运算
- 18、 平均数的计算技巧
比如计算数据(515，521，527，531，532，536，543，548，558，559)的平均数。
(ar{x}=500+cfrac{15+21+27+31+32+36+43+48+58+59}{10}=537)；
(ar{x}=540+cfrac{-25-19-13-9-8-4+3+8+18+19}{10}=540+cfrac{-30}{10}=537)；
- 19、特殊方程组
已知(left{egin{array}{l}{xy=12}\{yz=8}\{xz=6}end{array} ight.)，求解方程组；
分析：三式相乘再开方，得到(xyz=24)，然后与已知的三个式子相除，
得到(x=3)，(y=4)，(z=2)。
- 20、和分比性质
由(cfrac{x}{sqrt{3}}=cfrac{2-x}{2sqrt{3}})解方程，则可得到(cfrac{2-x}{x}=cfrac{2sqrt{3}}{sqrt{3}})，
利用和比性质得到，(cfrac{2-x+x}{x}=cfrac{2sqrt{3}+sqrt{3}}{sqrt{3}})，
即(cfrac{2}{x}=cfrac{3sqrt{3}}{sqrt{3}}=3)，则(x=cfrac{2}{3})；
几何部分
圆锥曲线中将直线代入后的化简过程；
将直线(y=kx+2)代入圆锥曲线(cfrac{x^2}{4}+cfrac{y^2}{3}=1)的代入运算过程，可以如下简化：
先将圆锥曲线整理为(3x^2+4y^2-12=0)，然后这样在演草纸上书写，注意对齐书写，一次运算过
(left{egin{array}{l}{3x^2}\{4(k^2x^2+4kx+4)}\{hspace{6em}-12}end{array} ight.)
一次就可以整理为((4k^2+3)x^2+16kx+4=0)；
引例2、已知函数(f(x)=mlnx+x^2-mx)在((1，+infty))上单调递增，求m的取值范围____________．
【分析】由函数单调递增，转化为(f'(x)≥0)在((1，+infty))上恒成立，然后分离参数得到(m≤g(x))，用均值不等式求新函数(g(x))的最小值即可。
【解答】由题目可知，(f'(x)≥0)在((1，+infty))上恒成立，且(f'(x))不恒为零，
则有(f'(x)=cfrac{m}{x}+2x-m=cfrac{2x^2-mx+m}{x}≥0)在((1，+infty))上恒成立，
即(2x^2-mx+m≥0)在((1，+∞))上恒成立，常规法分离参数得到
m≤(cfrac{2x^2}{x-1}=cfrac{2(x-1)^2+4x-2}{x-1}=cfrac{2(x-1)^2+4(x-1)+2}{x-1}=2(x-1)+cfrac{2}{x-1}+4)
由于(x>1)，故(2(x-1)+cfrac{2}{x-1}+4≥2sqrt{4}+4=8)，当且仅当(x=2)时取到等号。
故(m≤8)，当(m=8)时，函数不是常函数，也满足题意，故(m≤8)。 ↩︎【具体应用①】比如函数(f(x)=ln(sqrt{x^2+1}-x))，则可知(f(-x)=ln(sqrt{x^2+1}+x))，即(f(x)+f(-x)=ln1=0)，即函数(f(x))为奇函数；
那么函数(f(x)=ln(sqrt{x^2+1}-x)+1)呢，同理可得，(f(x)+f(-x)=2)，即函数(f(x))关于点((0，1))对称。
【具体应用②】比如函数(g(x)=lg(sqrt{sin^2x+1}+sinx))，则可知(g(-x)=lg(sqrt{sin^2x+1}-sinx))，
即(g(x)+g(-x)=lg1=0)，即函数(g(x))为奇函数； ↩︎引例，(b=sqrt{7}-sqrt{3})，(c=sqrt{6}-sqrt{2})，比较(b、c)的大小。
分析：(b=sqrt{7}-sqrt{3}=cfrac{sqrt{7}-sqrt{3}}{1}=cfrac{4}{sqrt{7}+sqrt{3}})；
(c=sqrt{6}-sqrt{2}=cfrac{sqrt{6}-sqrt{2}}{1}=cfrac{4}{sqrt{6}+sqrt{2}})；
由于(sqrt{7}+sqrt{3}>sqrt{6}+sqrt{2})，故(cfrac{4}{sqrt{7}+sqrt{3}}<cfrac{4}{sqrt{6}+sqrt{2}})，
即(b<c)。 ↩︎实际高三数学教学和考试中的相关内容常常是这样的：
①(x^2-5sqrt{2}x+8ge 0)，即((x-sqrt{2})(x-4sqrt{2})ge 0)；
②(x^2-(2m+1)x+m^2+m-2leq 0)，即([x-(m+2)][x-(m-1)]leq 0)；
③(x^2-3mx+(m-1)(2m+1)ge 0)；即([x-(m-1)][x-(2m+1)]ge 0)；
④(x^2-(a+a^2)x+a^3leq 0)，即((x-a)(x-a^2)leq 0)；
⑤(x^2-(a+1)x+aleq 0)，即((x-1)(x-a)leq 0)；
⑥(x^2-(2a+1)x+a(a+1)leq 0)；即((x-1)[x-(a+1)]leq 0)；
⑦(cfrac{x-2a}{x-(a^2+1)}<0(a eq 1))；即((x-2a)[x-(a^2+1)]<0)，解集为((2a，a^2+1))；
⑧(x^2+(m+4)x+m+3<0)，即((x+1)[x+(m+3)]<0)；
⑨(x^2-(a+cfrac{1}{a})x+1<0)，即((x-a)(x-cfrac{1}{a})<0)；
⑩(f'(x)=x+(a-e)-cfrac{ae}{x}=cfrac{x^2+(a-e)x-ae}{x}=cfrac{(x+a)(x-e)}{x})；
⑾(x^2-2ax+a^2-4=x^2-2ax+(a+2)(a-2)=[x-(a-2)][x-(a+2)]leq0)，即(a-2leq xleq a+2) ； ↩︎推导：(f(x+2a)=f[(x+a)+a]xlongequal[整体代换]{用x+a代换已知式中的x}-f(x+a)xlongequal[代换]{用已知f(x+a)=-f(x)}-(-f(x))=f(x)Longrightarrow T=2a) ↩︎
推导：(f(x+2a)=f[(x+a)+a]=b-f(x+a)=b-(b-f(x))=f(x)Longrightarrow T=2a) ↩︎
推导：(f(x+2a)=f[(x+a)+a]=cfrac{k}{f(x+a)}=cfrac{k}{cfrac{k}{f(x)}}= f(x)Longrightarrow T=2a) ↩︎
例12 设函数(f(x)=x^2-1)，对任意(xin [cfrac{3}{2}，+infty))，(f(cfrac{x}{m})-4m^2cdot f(x)leq f(x-1)+4f(m))恒成立，则实数(m)的取值范围是((-infty，-cfrac{sqrt{3}}{2}]cup[cfrac{sqrt{3}}{2}，+infty))。
提示：由题意得到，(cfrac{x^2}{m^2}-1-4m^2(x^2-1)leq (x-1)^2-1+4(m^2-1))对任意(xin [cfrac{3}{2}，+infty))恒成立，分离参数得到，
则(cfrac{1}{m^2}-4m^2leq -cfrac{3}{x^2}-cfrac{2}{x}+1)对任意(xin [cfrac{3}{2}，+infty))恒成立，
令(h(x)= -cfrac{3}{x^2}-cfrac{2}{x}+1= -3(cfrac{1}{x})^2-2(cfrac{1}{x})+1)，(h(x)_{min}=-cfrac{5}{3})，故转化为
(cfrac{1}{m^2}-4m^2leq -cfrac{5}{3})，即((3m^2+1)(4m^2-3)ge 0)，解得(min (-infty，-cfrac{sqrt{3}}{2}]cup[cfrac{sqrt{3}}{2}，+infty))。
解后反思：确定题目的变形方向很关键。 ↩︎