几何体的表面积和体积

前言

涉及公式

柱、锥、台和球的侧面积和体积
	面积	体积
圆柱	$S_{侧}=2pi rh$	$V=Sh=pi r^2h$
圆锥	$S_{侧}=pi r l$	$V=cfrac{1}{3}Sh=cfrac{1}{3}pi r^2 h=cfrac{1}{3}pi r^2 sqrt{l^2-r^2}$
圆台	$S_{侧}=pi(r_1+r_2)l$	$V=cfrac{1}{3}(S_{上}+S_{下}+sqrt{S_{上}S_{下}})h=cfrac{1}{3}pi(r_1^2+r_2^2+r_1r_2)h$
直棱柱	$S_{侧}=Ch$	$V=Sh$
棱锥	$S_{侧}=cfrac{1}{2}Ch'$	$V=cfrac{1}{3}Sh$
棱台	$S_{侧}=cfrac{1}{2}(C+C')h'$	$V=cfrac{1}{3}(S_{上}+S_{下}+sqrt{S_{上}S_{下}})h$
球体	$S_{侧}=4pi R^2$	$V=cfrac{4}{3}pi R^3$

技巧总结

常运用割补法，

典例剖析

例1【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】已知(AB)为半径为(R)的球(O)的一条直径，过(OB)的中点(M)作垂直于(AB)的截面，若以此截面为底面，(A)为顶点的圆锥的体积为(cfrac{3pi}{8})，则球的表面积为__________。

分析：如图所示，(OA=R)，(MD=r)，则(AM=cfrac{3R}{2})，(BM=cfrac{R}{2})，

由相交弦定理(垂径定理)可知，(r^2=cfrac{3R}{2}cdot cfrac{R}{2}=cfrac{3R^2}{4})，圆锥的高(h=AM=cfrac{3R}{2})

则(V_{圆锥}=cfrac{1}{3}pi r^2 h=cfrac{3pi R^3}{8}=cfrac{3pi}{8})，故(R=1)，故(S_{球}=4pi R^2=4pi).

例2【2017凤翔中学第二次月考理科第15题】

已知三棱锥(P-ABC)满足(PA、PB、PC)两两垂直，且(PA=PB=PC=2)，(Q)是三棱锥(P-ABC)外接球上的一个动点，则点(Q)到平面(ABC)的距离的最大值是多少？

分析：我们可以将此三棱锥还原为正方体的一部分，补体并特殊化为为正方体的一个角，如图所示，

且正方体有个外接球，那么点(Q)到平面(ABC)的距离的最大值即是正方体的体对角线的(cfrac{2}{3})，而体对角线长为(sqrt{2^2+2^2+2^2}=2sqrt{3})，故所求值为(cfrac{4sqrt{3}}{3})。

例3【2017凤翔中学第三次月考理科第10题】已知球面上有(A、B、C)三点，如果(|AB|=|BC|=|AC|=2sqrt{3})，且球心到平面(ABC)的距离为1，则该球的体积为多少？

分析：本题目关键是求球的半径(R) ，如上例中的模型，已知的三点可以安放在图中的点(A'、B、C')处，但是要注意，

已知的平面(ABC)和模型中的平面(A'BC')平行，不一定重合，此时求半径问题就转化为求正三棱锥的侧棱的长问题了，

而且此时正三棱锥的底面边长为(2sqrt{3})，正三棱锥的高是1，高的垂足(E)是下底面的中心，

则其侧棱(OA)，(OA=sqrt{1^2+2^2}=sqrt{5})，故(R=sqrt{5})，

故该球的体积(V_球=cfrac{4}{3}cdot picdot R^3=cfrac{20sqrt{5}}{3}pi)。

例4【2019届高三理科数学二轮用题】在面积为4的正方形(ABCD)中，(M)是线段(AB)的中点，现将图形沿(MC)，(MD)折起，使线段(MA)和(MB)重合，得到一个四面体(A-CDM)，其中点(B)和点(A)重合，则该四面体外接球的表面积为_________。

分析：平面图形如左图，立体图形如右图所示，(angle MAC=angle MAD=cfrac{pi}{2})，下来的重点是如何将四面体放置在球体内部。

可以这样来思考，将最特殊的面(ACD)放置在下底面，这样方便来放置和下底面垂直的侧棱，如下图所示；

底面圆的圆心(O')为下底面正三角形的重心，(O)为球心，则(OA=OM=R)，由于( riangle ACD)为等边三角形，(AC=2)，则(CH=1)，(AH=sqrt{3})，则(AO'=cfrac{2sqrt{3}}{3})，过点(O)做(OKperp AM)于(K)，则(OK=AO'=cfrac{2sqrt{3}}{3})，又(AK=cfrac{1}{2}AM=cfrac{1}{2})，在(Rt riangle AOK)中，由勾股定理可知(R^2=(cfrac{2sqrt{3}}{3})^2+(cfrac{1}{2})^2=cfrac{19}{12})，故(S_{球O}=4pi R^2=cfrac{19pi}{3})。

补充说明：如果想不清这一点，还可以想着将四面体补体成一个直三棱柱，如下图的动图所示，

解后反思：当一条侧棱和下底面垂直时，常将三棱锥(M-ACD)补体成直三棱柱(MC'D'-ACD)，这样容易想清楚。

例4-1【2019届高三理科数学二轮用题】已知矩形(ABCD)，(AB=1)，(AD=sqrt{2})，(E)是线段(AD)的中点，现分别沿(BE)，(CE)将( riangle ABE)和( riangle DCE)翻折，使点(A)和点(D)重合，记为点(P)，则四面体(P-BCE)的外接球的表面积为_________。

分析：有空整理；

例5【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】三棱锥(P-ABC)中，( riangle ABC)为等边三角形，(PA=)(PB)(=PC)(=3)，(PAperp PB)，则三棱锥(P-ABC)的外接球的表面积为__________。

分析：补体并特殊化为为正方体的一个角，如图所示，

则体对角线长为(3sqrt{3})，即(R=cfrac{3sqrt{3}}{2})，故(S_{表}=4pi R^2=27pi).

例6【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】已知体积为(cfrac{9sqrt{2}}{4})的三棱锥(P-ABC)的所有棱长都相等，则三棱锥(P-ABC)的外接球的表面积为【】

$A.cfrac{27pi}{2}$ $B.cfrac{27sqrt{6}pi}{2}$ $C.cfrac{27pi}{8}$ $D.cfrac{81sqrt{6}pi}{8}$

分析：如图，设( riangle ABC)的外接圆的圆心为(E)，由于三棱锥(P-ABC)的所有棱长都相等，故三棱锥为正四面体，

设正四面体的棱长为(AB=a)，由正四面体的体积为(V=cfrac{9sqrt{2}}{4})，可解得(a=3)，

则其外接球的半径为(R=cfrac{sqrt{6}a}{4}=cfrac{3sqrt{6}}{4})，详解详析 ^[1]

故三棱锥(P-ABC)的外接球的表面积为(S=4pi R^2=4pi (cfrac{sqrt{6}3}{4})^2=cfrac{27pi}{2})，故选(A)。

例7【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】鲁班锁时中国古代传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构。如图所示，在没有钉子和绳子的情况下，通过一种榫卯咬合的方式把三组木条(共六根木条，每根木条均可视为正四棱柱)垂直相交固定在一起，其上下、左右、前后完全对称。现有一个鲁班锁，每一根木条的高为(5)，底面正方形的边长为(2)，现将该鲁班锁放在一个球形容器中，则能容纳该鲁班锁的最小球形容器的表面积为(容器壁厚度忽略不计)【】

$A.28pi$ $B.33pi$ $C.45pi$ $D.120pi$

分析：由于鲁班锁的上下、左右、前后完全对称，故此问题等同于一个下底面的长为(2)宽为(4)，高为(5)的长方体外接于球，如图所示，