前言
模板函数
- 核心的模板函数(y=sinx)，其性质如下：
定义域：(xin R)；
值 域：(y=sinxin [-1，1])
单调性：单增区间 ([2kpi-cfrac{pi}{2}，2kpi+cfrac{pi}{2}](kin Z))； 单减区间 ([2kpi+cfrac{pi}{2}，2kpi+cfrac{3pi}{2}](kin Z))；
奇偶性：奇函数；(sin(-x)=-sinx)；
周期性：(T=2pi)；
对称性：对称轴(x=kpi+cfrac{pi}{2}(kin Z))；对称中心((kpi，0)(kin Z))；
零 点：(x=kpi (kin Z))；
最 值：(x=2kpi+cfrac{pi}{2})时，(y_{max}=1)；(x=2kpi-cfrac{pi}{2})时，(y_{min}=-1)；
五点法作图：
| (x) | (0) | (cfrac{pi}{2}) | (pi) | (cfrac{3pi}{2}) | (2pi) |
|---|---|---|---|---|---|
| (f(x)=sinx) | (0) | (1) | (0) | (-1) | (0) |
| (点的坐标) | ((0,0)) | ((cfrac{pi}{2}，1)) | ((pi,0)) | ((cfrac{3pi}{2},-1)) | ((2pi,0)) |
效果图如下：
使用示例
当研究清楚了上述的函数(y=sinx)的性质后，我们就能够以此为依托，研究更复杂的正弦型函数的各种性质了。
我们以(y=2sin(2x+cfrac{pi}{6})+1)为例子加以说明；
定义域：(xin R)；
值域：由于(-1leqslant sin(2x+cfrac{pi}{6})leqslant 1)，
故((-1) imes 2+1leqslant 2sin(2x+cfrac{pi}{6})+1leqslant 1 imes 2+1)，即(-1leqslant yleqslant 3)；
单调性：由于(2)倍和后边的(+1)不影响单调性，故利用(y=sin(2x+cfrac{pi}{6}))求单调区间；
令(2kpi-cfrac{pi}{2}leqslant 2x+cfrac{pi}{6}leqslant 2kpi+cfrac{pi}{2})，(kin Z)，
解得单调递增区间为([kpi-cfrac{pi}{3}，kpi+cfrac{pi}{6}])，((kin Z))；
令(2kpi+cfrac{pi}{2}leqslant 2x+cfrac{pi}{6}leqslant 2kpi+cfrac{3pi}{2})，(kin Z)，
解得单调递减区间为([kpi+cfrac{pi}{6}，kpi+cfrac{2pi}{3}])，((kin Z))；
奇偶性：由于(f(0)
eq 0)，且(f(0))没有取到最值，故函数没有奇偶性；
周期性：(T=cfrac{2pi}{2}=pi)；
对称性：比如求对称轴方程，此时后边的(+1)不影响其对称性，前边的2倍也不影响，
故利用(y=sin(2x+cfrac{pi}{6}))求对称轴方程，
令(2x+cfrac{pi}{6}=kpi+cfrac{pi}{2}(kin Z))，解得对称轴方程为：(x=cfrac{kpi}{2}+cfrac{pi}{6}(kin Z))，
求对称中心，先利用(y=sin(2x+cfrac{pi}{6}))求对称中心，最后补充(+1)；
令(2x+cfrac{pi}{6}=kpi(kin Z))，解得(x=cfrac{kpi}{2}-cfrac{pi}{12}(kin Z))，
故对称中心坐标为((cfrac{kpi}{2}-cfrac{pi}{12}，1)(kin Z))
零点：令(y=2sin(2x+cfrac{pi}{6})+1=0)，即(sin(2x+cfrac{pi}{6})=-cfrac{1}{2})，
则(2x+cfrac{pi}{6}=2kpi-cfrac{pi}{6}(kin Z))或(2x+cfrac{pi}{6}=2kpi-cfrac{5pi}{6}(kin Z))
即(x=kpi-cfrac{pi}{6}(kin Z))或(x=kpi-cfrac{pi}{2}(kin Z))，
最值：(y_{min}=-1)，(y_{max}=3)
五点法作图：自定周期的起止点；函数为(f(x)=2sin(2x+cfrac{pi}{6})+1)
| (x) | (-cfrac{pi}{12}) | (cfrac{2pi}{12}=cfrac{pi}{6}) | (cfrac{5pi}{12}) | (cfrac{8pi}{12}=cfrac{2pi}{3}) | (cfrac{11pi}{12}) |
|---|---|---|---|---|---|
| (2x+cfrac{pi}{6}) | (0) | (cfrac{pi}{2}) | (pi) | (cfrac{3pi}{2}) | (2pi) |
| (sin(2x+frac{pi}{6})) | (0) | (1) | (0) | (-1) | (0) |
| (f(x)) | (1) | (3) | (1) | (-1) | (1) |
| (点的坐标) | ((-cfrac{pi}{12},1)) | ((cfrac{pi}{6},3)) | ((cfrac{5pi}{12},1)) | ((cfrac{2pi}{3},-1)) | ((cfrac{11pi}{12},1)) |
效果图如下：
分析：在上题作图的基础上修正如下即可，
| (x) | (0) | (cfrac{2pi}{12}=cfrac{pi}{6}) | (cfrac{5pi}{12}) | (cfrac{8pi}{12}=cfrac{2pi}{3}) | (cfrac{11pi}{12}) | (pi) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| (2x+cfrac{pi}{6}) | (cfrac{pi}{6}) | (cfrac{pi}{2}) | (pi) | (cfrac{3pi}{2}) | (2pi) | (cfrac{13pi}{6}) |
| (sin(2x+frac{pi}{6})) | (cfrac{1}{2}) | (1) | (0) | (-1) | (0) | (cfrac{1}{2}) |
| (f(x)) | (2) | (3) | (1) | (-1) | (1) | (2) |
| (坐标) | ((0,2)) | ((cfrac{pi}{6},3)) | ((cfrac{5pi}{12},1)) | ((cfrac{2pi}{3},-1)) | ((cfrac{11pi}{12},1)) | ((pi,2)) |
效果图如下：待整理；