前言
概率题目中，涉及到的事件比较多，关系复杂，如何区分这些事件的关系，对成功解决概率问题至关重要。
区分角度
- 互斥事件和对立事件
以掷骰子试验为例，向上的点数为1记为事件(A)，向上的点数为2记为事件(B)，向上的点数为奇数记为事件(C)，向上的点数为偶数记为事件(D)，
关系：(A)与(B)互斥关系；包含关系：(Asubseteq C)；对立关系：(C)与(D)是对立关系；
判断方法：若事件(A)发生时，事件(B)必然不能发生，若事件(B)发生时，事件(A)必然不能发生，则事件(A)与(B)是互斥关系；
若事件(A)发生时，事件(B)必然不能发生，若事件(A)不发生时，事件(B)必然发生，则事件(A)与(B)是对立关系；
- 互斥事件和独立事件
这两个概念本是不必区分的，但实践中还是容易出错；想象有一个(n)层的书架，互斥事件就是同一层书架上的几本书之间的关系，互斥或对立。独立事件指的就是不同书架之间的几本书的关系；
判断方法：若事件(A)发生时，事件(B)必然不能发生，若事件(B)发生时，事件(A)必然不能发生，则事件(A)与(B)是互斥关系；若事件(A)的发生与否并不能决定事件(B)的发生与否，则事件(A)与(B)是相互独立关系；如果事件(A)、(B)相互独立，则事件(A)、(B)必然不互斥。
- 独立事件和独立重复试验
10个射手，射击水平各不相同，则他们射中目标的概率各自都不相同，那么各自射击一次，就只是按照相互独立事件处理；若10个射手射击水平完全相同，其效果就像是一个高水平的射手连续射击10次，这时候就可以抽象为做了10次独立重复试验。
- 独立事件和二项分布
承接上例，10个射击水平各不相同的射手各自射击一次，其击中目标的概率只能按照相互独立事件的概率乘法公式计算；但若是10个射击水平相同的射手各自射击一次，其击中目标的概率既可以按照相互独立事件的概率乘法公式计算，当然还可以用更简便的方法(乘方是乘法的简便运算)，即二项分布的概率计算公式来计算。
典例剖析
分析：令甲、乙、丙三人击中靶心，分别为事件(A)，(B)，(C)，则(P(A)=0.6)，(P(B)=0.7)，(P(C)=0.8)，且(P(ar{A})=0.4)，(P(ar{B})=0.3)，(P(ar{C})=0.2)，且事件(A)，(B)，(C)相互独立，且事件(ar{A})，(ar{B})，(ar{C})等等相互独立。
①三人都击中靶心的概率为多少？
分析：令“三人都击中靶心”为事件(D)，则(D=ABC)，$P(D)=P(A)P(B)P(C)=0.6 imes 0.7 imes 0.8=cdots $
②无人击中靶心的概率为多少？
分析：令“三人都没有击中靶心”为事件(E)，则(E=ar{A}ar{B}ar{C})，$P(E)=P(ar{A})P(ar{B})P(ar{C})=0.4 imes 0.3 imes 0.2=cdots $
③仅有一个人击中靶心的概率为多少？
分析：令“三人中仅有一人击中靶心”为事件(F)，则(F=Aar{B}ar{C}+ar{A}Bar{C}+ar{A}ar{B}C)，
(P(F)=P(Aar{B}ar{C})+P(ar{A}Bar{C})+P(ar{A}ar{B}C))
(=0.6 imes 0.3 imes 0.2+0.4 imes 0.7 imes 0.2+0.4 imes 0.3 imes 0.8=cdots)
分析：三个人各打靶一次，由于三人击中靶心的概率都是0.7，相当于做了三次独立重复试验，设击中靶心的次数为(X)，则(Xsim B(3，0.7))，且(P(X=k)=C_3^kcdot 0.7^kcdot (1-0.7)^{3-k})，(k=0，1，2，3)，
①三人都击中靶心的概率为多少？
分析：(P(X=3)=C_3^3cdot 0.7^3cdot (1-0.7)^{3-3}=0.7^3)，
②无人击中靶心的概率为多少？
分析：(P(X=0)=C_3^0cdot 0.7^0cdot (1-0.7)^{3-0}=0.3^3)，
③仅有一个人击中靶心的概率为多少？
分析：(P(X=1)=C_3^1cdot 0.7^1cdot (1-0.7)^{3-1}=3 imes 0.7 imes0.3^2)，
分析：由于事件(A)，(B)，(C)相互独立，则事件(A+B+C)表示事件(A)发生，或事件(B)发生，或事件(C)发生，即事件(A)，(B)，(C)中至少有一个发生，其对立面是一个都没有发生，
故(P(A+B+C)=1-P(ar{A})cdot P(ar{B})cdot P(ar{C})=1-[(1-0.25)(1-0.50)(1-0.45)])
(=1-0.225=0.775)，故选(D)。
- 用加号相连的事件之间的关系，一般是互斥的，但也有其他的关系，比如本题目。
常见刻画
①(A)发生：(A)；
②只有(A)发生：(Aar{B}ar{C})；
③(A)，(B)，(C)恰有一个发生：(Aar{B}ar{C})+(ar{A}Bar{C})+(ar{A}ar{B}C)；
④(A)，(B)，(C)同时发生：(ABC)；
⑤(A)，(B)，(C)至少有一个发生：(A+B+C)；
⑥(A)，(B)，(C)至多有一个发生：(ar{A}ar{B}ar{C})+(Aar{B}ar{C})+(ar{A}Bar{C})+(ar{A}ar{B}C)；
⑦(A)，(B)，(C)恰有两个发生：(ABar{C})+(Aar{B}C)+(ar{A}BC)；
⑧(A)，(B)，(C)至少两个发生：(ABar{C})+(Aar{B}C)+(ar{A}BC)+(ABC)；
①三次都合格：(A_1A_2A_3)；
②至少一次合格：(A_1ar{A_2}ar{A_3})+(ar{A_1}A_2ar{A_3})+(ar{A_1}ar{A_2}A_3)+(A_1A_2ar{A_3})+(A_1ar{A_2}A_3)+(ar{A_1}A_2A_3)+(A_1A_2A_3)；
③恰有两次合格：(A_1A_2ar{A_3})+(A_1ar{A_2}A_3)+(ar{A_1}A_2A_3)；
④至多一次合格：(ar{A_1}ar{A_2}ar{A_3})+(A_1ar{A_2}ar{A_3})+(ar{A_1}A_2ar{A_3})+(ar{A_1}ar{A_2}A_3)；