三视图

前言

一、方法总结

• 三视图还原为直观图的方法

二、典例剖析

例1【2019届宝鸡市高三理科数学质检Ⅱ第15题】

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____________。

分析：由题目给定的三视图我们可以看出，原几何体的长、宽、高都是2，故我们先做一个正方体的模型备用，暂时不用标记顶点字母。

然后观察正视图中的所有顶点，将其顶点所落的正方体中的线段用红色标记并加粗，如下图所示；

然后观察左视图中的所有顶点，将其顶点所落的正方体中的线段用蓝色标记并加粗，如下图所示；

再观察附视图中的所有顶点，将其顶点所落的正方体中的线段用绿色标记并加粗，如下图所示；

最后，确定出原几何体的各个顶点。我们这样做，从图中找出来由三条有色加粗的线段交汇的点(如果仅仅由两个颜色的线段交汇的点舍弃不用)，将得到的这些点相连就得到了如下图的几何体，至此，完成了由三视图到几何体的直观图的还原过程。

如图所示，连结(BD)，则原几何体即可以看成一个三棱锥(D_1-ABD)和一个四棱锥(B-CDD_1F)合体构成的一个几何体，故其体积计算如下：

(V=V_{三棱锥D_1-ABD}+V_{四棱锥B-CDD_1F})

(=cfrac{1}{3} imes cfrac{1}{2} imes 2 imes 2 imes 2+cfrac{1}{3} imes cfrac{1}{2} imes(1+2) imes 2 imes 2=cfrac{10}{3})。

例2【第4题】某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则最长的侧棱与底面所成的角为【】

$A.30^{circ}$ $B.45^{circ}$ $C.60^{circ}$ $D.90^{circ}$

分析：

由图可知，实物图为三棱锥(D-ABC)，且有(AB=BC=CD=AD=2)，(AE=CE=1)，(angle BED=cfrac{pi}{2})，面(ADCperp)面(ABC)，故可求得(DE=BE=sqrt{3})，则最长的侧棱(BD)与底面所成的角为可知(angle DBE=45^{circ})。

例3【第9题】已知某四棱锥的三视图如图所示，三角形的直角边长和正方形的边长都是1，则该四棱锥的外接球的表面积为【】

$A.3pi$ $B.6pi$ $C.9pi$ $D.12pi$

分析：如图所示，三视图的实物图可以从正方体中得到，是四棱锥(D-A_1BCD_1)，故其外接球的直径为(A_1C=BD_1=sqrt{3})，则半径为(R=cfrac{sqrt{3}}{2})，表面积为(S=4pi R^2=3pi)，故选(A)。