难点总结
学生在对数运算中的难点分析：
一、不理解对数，不会用对数公式或错用对数公式
①对数(log_23)和指数幂(2^3)一样，也就是个实数而已，所以其也会有加减乘除乘方开方等运算；
比如(2^{2+log_23}=2^2cdot 2^{log_23}=4cdot 3=12)；
②准确记忆对数的运算公式和法则，
【相关复习】指数幂的运算[1]
(a^b=N(指数式)Longleftrightarrow b=log_aN(对数式))；
对数的性质：(log_a1=0)，(log_aa=1)；
对数的运算法则：(log_aMN=log_aM+log_aN)；
(log_acfrac{M}{N}=log_aM-log_aN)；(log_aM^n=nlog_aM)；
对数恒等式：(a^{log_aN}=N)；
对数换底公式：(log_ab=cfrac{log_cb}{log_ca}(a>0,a eq 1;c>0,c eq 1;b>0))
常用公式1：(log_abcdot log_bccdot log_cd= log_ad)；(log_abcdot log_bccdot log_ca= log_aa=1)；
(log_abcdot log_ba=1)；(lne=1)；(lg2+lg5=lg10=1)；
常用公式2：(log_{a^m}{b^n}=cfrac{n}{m}log_ab(m，nin R，a>0，a eq 1，b>0))
③正用、逆用、变用公式；
(log_aM+log_aN=log_aMN)；(log_aM-log_aN=log_acfrac{M}{N})；
(nlog_aM=log_aM^n)；(cfrac{n}{m}log_ab=log_{a^m}{b^n})
④错用公式：(log_a(M+N)=log_aM+log_aN)；(log_a(Mcdot N)=log_aMcdot log_aN)；
二、知道对数的公式和运算法则，但不会灵活运用，对公式中的字母的内涵不理解；
分析：原式(=(lg2+lg5)(lg^22-lg2lg5+lg^25)+3lg2lg5)
(=lg^22-lg2lg5+lg^25+3lg2lg5)
(=lg^22+2lg2lg5+lg^25=(lg2+lg5)^2=1)；
法1：原式(=(cfrac{1}{2}log_23+cfrac{1}{3}log_23)(log_32+cfrac{1}{2}log_32))
(=(cfrac{1}{2}+cfrac{1}{3})cdot log_23cdot (1+cfrac{1}{2})log_32=cfrac{5}{4})
法2：原式(=(cfrac{1}{log_34}+cfrac{1}{log_38})(cfrac{1}{log_23}+cfrac{1}{log_29}))
(=(cfrac{1}{2log_32}+cfrac{1}{3log_32})(cfrac{1}{log_23}+cfrac{1}{2log_23}))
(=cfrac{5}{6log_32}cdot cfrac{3}{2log_23}=cfrac{5}{4})
三、只会单独运用单个的对数公式，不会组合应用几个对数公式；
分析：本题目分三个步骤完成：
第一步，先计算(5)的指数位置的对数的真数的值，
(lg^22+lgcfrac{5}{2}=(lg2)^2-lg2+lg5)
(=lg2(lg2-1)+lg5=-lg2lg5+lg5)
(=lg5(1-lg2)=(lg5)^2)
这样，原题目就转化为(5^{log_{25}(lg5)^2})；
第二步，再计算(5)的指数位置的对数的值，
(log_{25}(lg5)^2=log_{5^2}(lg5)^2=cfrac{2}{2}cdot log_5lg5=log_5lg5)；
这样，原题目再次转化为(5^{log_5lg5})；
第三步，利用对数恒等式求值，
(5^{log_5lg5}=lg5)；
故(5^{log_{25}(lg^22+lgfrac{5}{2})}=lg5)；
四、涉及指数、对数的综合运算
①(2^{-log_23}=2^{log_2(3^{-1})}=3^{-1}=cfrac{1}{3})；
②(4^{frac{1}{2}log_210}=(4^{frac{1}{2}})^{log_210}=2^{log_210}=10)；
③(7^{-log_7frac{1}{2}}=(cfrac{1}{2})^{-1}=2)；
④(4^{frac{1}{2}+log_210}=4^{frac{1}{2}}cdot 4^{log_210}=2cdot 2^{log_2{10}^2}=200)；
⑤(cfrac{1}{2}lgcfrac{32}{49}-cfrac{4}{3}lgsqrt{8}+lgsqrt{245})
(=cfrac{1}{2}(lg32-lg49)-cfrac{4}{3}lg8^{frac{1}{2}}+lg245^{frac{1}{2}})
(=cfrac{1}{2}(lg2^5-lg7^2)-cfrac{4}{3}cdot cfrac{1}{2}lg2^3+cfrac{1}{2}lg(49 imes5))
(=cfrac{1}{2}(5lg2-2lg7)-cfrac{2}{3} imes 3lg2+cfrac{1}{2}(2lg7+lg5))
(=cfrac{5}{2}lg2-lg7-2lg2+cfrac{1}{2}lg5+lg7)
(=cfrac{1}{2}lg2+cfrac{1}{2}lg5)
(=cfrac{1}{2}(lg2+lg5)=cfrac{1}{2})。
五、不懂对数运算的策略
分析：设(5^{lg30}cdot (cfrac{1}{3})^{lg0.5}=x)，两边同时取对数，
得到(lgx=lg[5^{lg30}cdot (cfrac{1}{3})^{lg0.5}])，
即(lgx=lg30cdot lg5+lg0.5cdot lgcfrac{1}{3})
即(lgx =(lg3+1)cdot lg5+(-lg2)cdot (-lg3))
即(lgx=lg3cdot lg5+lg5+lg2cdot lg3)
即(lgx=lg3(lg2+lg5)+lg5)
即(lgx=lg3+lg5=lg15)，
即(x=15)；
原式=(log_2^;{(sqrt{2+sqrt{3}}-sqrt{2-sqrt{3}})})
(=cfrac{1}{2}cdot 2 log_2^;{(sqrt{2+sqrt{3}}-sqrt{2-sqrt{3}})})
(=cfrac{1}{2}log_2^;{(sqrt{2+sqrt{3}}-sqrt{2-sqrt{3}})^2}=cfrac{1}{2})
分析：引入正数因子(k)，
令(2+log_2a=3+log_3b=log_6(a+b)=k(k>0))，
则由(2+log_2a=log_24a=k)，
得到(4a=2^k)，即(a=cfrac{2^k}{2^2}=2^{k-2})；
由(3+log_3b=log_327b=k)，
得到(27b=3^k)，即(b=cfrac{3^k}{3^3}=3^{k-3})；
由(log_6(a+b)=k)，
得到(a+b=6^k)；
则(cfrac{1}{a}+cfrac{1}{b}=cfrac{a+b}{ab})
(=cfrac{6^k}{2^{k-2}cdot 3^{k-3}})
(=cfrac{2^kcdot 3^k}{2^kcdot 2^{-2}cdot 3^kcdot 3^{-3}})
(=cfrac{1}{2^{-2}cdot 3^{-3}})
(=2^2cdot 3^3=108)
六、虽然能做出对数题目，但不能理解题目的训练意图；
①(lg(xyz)=lgx+lgy+lgz)；
②(lg(x^2y^2z^{-3})=2lgx+2lgy-3lgz)；
③(lgcfrac{xy}{x^2-y^2}=lgx+lgy-lg(x+y)-lg(x-y))；
④(lg[cfrac{y}{x(x-y)}]^3=3lgy-lgx-lg(x-y))；
分析：要使得原方程成立，必须先满足条件(9^{x-1}-5>0①)， (3^{x-1}-2>0②)，
在此前提下，原方程等价于(log_2(9^{x-1}-5)=log_24(3^{x-1}-2));
即(9^{x-1}-5=4(3^{x-1}-2))，
即(9^{x-1}-4cdot 3^{x-1}+3=0)，
即((3^{x-1})^2-4cdot 3^{x-1}+3=0)，
即 (3^{x-1}=1)，或者(3^{x-1}=3)，
解(3^{x-1}=1)， 即(3^{x-1}=3^0)，解得(x=1)，
解(3^{x-1}=3)， 即(3^{x-1}=3^1)，解得(x=2)，
验证：将(x=1)和(x=2)代入①②两式，舍去(x=1)，保留(x=2)，
故方程的根为(x=2)。
七、对数学公式的内涵和作用理解不到位
①$$
② (2^{log_23}=3)，这样做的目的是为了化简；
(3=2^{log_23})，这样做的目的是常数指数化，便于求解形如(2^x>3)指数不等式，即(2^x>3=2^{log_23})，
典例剖析
正整数指数幂：(underbrace{{a imes a imes cdots imes a}}_{n个}=a^n(nin N))；
负整数指数幂：(a^{-n}=cfrac{1}{a^n})；(a^0=1(a eq 0))；
正分数指数幂：(a^{frac{m}{n}}=sqrt[n]{a^m})；负分数指数幂：(a^{-frac{m}{n}}=cfrac{1}{sqrt[n]{a^m}})；
({整数}cup{分数}={有理数})；({有理数}cup{无理数}={实数})，
指数的运算法则：((m，nin R))，注意：字母(a、b)的内涵；
公式：(a^mcdot a^n=a^{m+n})；((a^m)^n=(a^n)^m=a^{mn})；((acdot b)^n=a^ncdot b^n)；
注意逆用：(a^{m+n}=a^mcdot a^n)；(a^{mn}=(a^m)^n=(a^n)^m)；(a^ncdot b^n=(acdot b)^n)；
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