单调队列 && 斜率优化dp 专题

首先得讲一下单调队列，顾名思义，单调队列就是队列中的每个元素具有单调性，如果是单调递增队列，那么每个元素都是单调递增的，反正，亦然。

那么如何对单调队列进行操作呢？

是这样的：对于单调队列而言，队首和队尾都可以进行出队操作，但只有队尾能够进行入队操作。

至于如何来维护单调队列，这里以单调递增队列为例：

1、如果队列的长度是一定的，首先判断队首元素是否在规定范围内，如果不再，则队首指针向后移动。（至于如何来判断是否在制定范围内，一般而言，我们可以给每个元素设定一个入队的序号，这样就能够知道每个元素原来的顺序了）。

2、每次加入元素是，如果元素小于队尾元素且队列非空，则减小尾指针，队尾元素出队列，直到保持队列单调性为止。

题目链接：http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1894

单调队列的入门题，我们给每个队列中的元素设定一个入队序号，并且设置一个变量来记录当前有多少人离开，这样我们可以维护一个单调递减队列，每次入队的时候，找当前元素适合的位置，每次出队列的时候，判断当前队首元素的入队序号与离开总入数的大小，如果小于等于，则说明当前队首元素应该已经在出队范围内，那么队首指针应该向后移动，直到找到元素的序号比当前离开的总人数大的那个元素，并且出队列。

 1 /*************************************************************************
 2     > File Name: fzu1894.cpp
 3     > Author: syhjh
 4     > Created Time: 2014年03月11日 星期二 08时55分28秒
 5  ************************************************************************/
 6 #include <iostream>
 7 #include <cstdio>
 8 #include <cstring>
 9 #include <algorithm>
10 using namespace std;
11 
12 const int MAXN = (1000000 + 10);
13 struct Node {
14     int val, num;
15 };
16 
17 Node que[MAXN];
18 
19 int main()
20 {
21     char s1[7], s2[7];
22     int Case;
23     scanf("%d", &Case);
24     while (Case--) {
25         int head = 0, tail = -1, val;
26         int num = 0, level = 0;
27         scanf("%s", s1);
28         while (~scanf("%s", s1)) {
29             if (strcmp(s1, "END") == 0) {
30                 break;
31             }
32             if (s1[0] == 'C') {
33                 scanf("%s %d", s2, &val);
34                 //找到当前值适合插入的位置，并且将其后面的元素全部舍弃
35                 while (head <= tail && que[tail].val <= val) tail--;
36                 que[++tail].val = val;
37                 que[tail].num = ++num;
38             } else if (s1[0] == 'Q') {
39                 //level记录了有多少个离开，因此我们要找的是队头元素进队列时的序号大于
40                 //目前离开的总人数，这样才能够说明当前元素还在队列中
41                 while (head <= tail && que[head].num <= level) {
42                     head++;
43                 }
44                 if (tail < head) {
45                     puts("-1");
46                 } else 
47                     printf("%d
", que[head].val);
48             } else 
49                 level++;
50         }
51     }
52     return 0;
53 }
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题目链接：http://poj.org/problem?id=2823

比较裸的单调队列，可以开两个队列来保存结果，一个单调递增来保存最小值，一个单调递减来保存最大值，每个元素入队列时都给一个入队编号，然后我们在判断的时候，只要判断当前元素的序号与队首元素的序号相差不大与K，则最值就是当前队首元素，否则，队首指针向后移动，直到找到一个符合条件的元素。

 1 /*************************************************************************
 2     > File Name: poj2823.cpp
 3     > Author: syhjh
 4     > Created Time: 2014年03月11日 星期二 09时45分04秒
 5  ************************************************************************/
 6 #include <iostream>
 7 #include <cstdio>
 8 #include <cstring>
 9 #include <algorithm>
10 #include <vector>
11 using namespace std;
12 
13 const int MAXN = (1000000 + 100);
14 struct Node {
15     int val, index;
16 };
17 
18 Node que1[MAXN], que2[MAXN];
19 int N, K, M;
20 int num[MAXN];
21 int ans1[MAXN], ans2[MAXN];
22 
23 void getSolve1()
24 {
25     int head = 0, tail = -1, len = K;
26     M = 0;
27     for (int i = 1; i <= N; i++) {
28         while (head <= tail && num[i] <= que1[tail].val) {
29             tail--;
30         }
31         que1[++tail].val = num[i];
32         que1[tail].index = i;
33         if (i - len == 0) {
34             while (head <= tail && i - que1[head].index + 1 > K) {
35                 head++;
36             }
37             ans1[++M] = que1[head].val;
38             len++;
39         }
40     }
41 }
42 
43 void getSolve2()
44 {
45     int head = 0, tail = -1, len = K;
46     M = 0;
47     for (int i = 1; i <= N; i++) {
48         while (head <= tail && num[i] >= que2[tail].val) {
49             tail--;
50         }
51         que2[++tail].val = num[i];
52         que2[tail].index = i;
53         if (i - len == 0) {
54             while (head <= tail && i - que2[head].index + 1 > K) {
55                 head++;
56             }
57             ans2[++M] = que2[head].val;
58             len++;
59         }
60     }
61 }
62 
63 int main()
64 {
65     while (~scanf("%d %d", &N, &K)) {
66         for (int i = 1; i <= N; i++) {
67             scanf("%d", &num[i]);
68         }
69         getSolve1();
70         getSolve2();
71         for (int i = 1; i <= M; i++) {
72             if (i == M) printf("%d
", ans1[i]);
73             else printf("%d ", ans1[i]);
74         }
75         for (int i = 1; i <= M; i++) {
76             if (i == M) printf("%d
", ans2[i]);
77             else printf("%d ", ans2[i]);
78         }
79     }
80     return 0;
81 }
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题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3415

题目的意思就是让你求最大的长度不超过K的连续序列的和。

思路：由于序列的环状特点，可以在最后添加K-1个数，并且用sum[i]表示1到i的连续和，于是sum[j] - sum[i - 1]就是i到j的连续和了。

那么对于每一个sum[j]，用sum[j]来减去最小的sum[i]（满足j - i >= K - 1)，这样的话，就可以用单调队列来维护最小sum[i]下标了。

 1 /*************************************************************************
 2     > File Name: hdu3415.cpp
 3     > Author: syhjh
 4     > Created Time: 2014年03月11日 星期二 10时43分42秒
 5  ************************************************************************/
 6 #include <iostream>
 7 #include <cstdio>
 8 #include <cstring>
 9 #include <climits>
10 #include <algorithm>
11 #include <deque>
12 using namespace std;
13 
14 const int MAXN = (200000 + 200);
15 int N, K;
16 int sum[MAXN], num[MAXN];
17 int que[MAXN];
18 
19 int main()
20 {
21     int Case;
22     scanf("%d", &Case);
23     while (Case--) {
24         scanf("%d %d", &N, &K);
25         sum[0] = 0;
26         for (int i = 1; i <= N; i++) {
27             scanf("%d", &num[i]);
28             sum[i] = sum[i - 1] + num[i];
29         }
30         for (int i = N + 1; i <= N + K - 1; i++) {
31             sum[i] = sum[i - 1] + num[i - N];
32         }
33         int head = 0, tail = -1;
34         deque<int > deq;
35         int st, ed, ans = INT_MIN; 
36         for (int i = 1; i <= N + K - 1; i++) {
37             while (head <= tail && sum[i - 1] < sum[que[tail]]) {
38                 tail--;
39             }
40             while (head <= tail && i - que[head] > K) {
41                 head++;
42             }
43             que[++tail] = i - 1;
44             if (sum[i] - sum[que[head]] > ans) {
45                 ans = sum[i] - sum[que[head]];
46                 st = que[head] + 1;
47                 ed = i;
48             }
49             /*
50             while (!deq.empty() && sum[i - 1] < sum[deq.back()]) {
51                 deq.pop_back();
52             }
53             while (!deq.empty() && i - deq.front() > K) {
54                 deq.pop_front();
55             }
56             deq.push_back(i - 1);
57             if (sum[i] - sum[deq.front()] > ans) {
58                 ans = sum[i] - sum[deq.front()];
59                 st = deq.front() + 1;
60                 ed = i;
61             }*/
62         }
63         if (ed > N) ed -= N;
64         printf("%d %d %d
", ans, st, ed);
65     }
66     return 0;
67 }
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题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3507

这是我的第一道斜率优化的题目，整整看了一个下午和一个晚上的时间才有点明白过来。

下面的这位大牛写的很好：http://www.cnblogs.com/ka200812/archive/2012/08/03/2621345.html

我自己的代码中也已有详细的注释，纯粹是对这题的理解！

 1 /*************************************************************************
 2     > File Name: hdu3507.cpp
 3     > Author: syhjh
 4     > Created Time: 2014年03月11日 星期二 21时13分52秒
 5  ************************************************************************/
 6 #include <iostream>
 7 #include <cstdio>
 8 #include <cstring>
 9 #include <algorithm>
10 #include <cmath>
11 using namespace std;
12 
13 const int MAXN = (500000 + 500);
14 int N, M;
15 int num[MAXN], sum[MAXN];
16 int dp[MAXN];
17 int que[MAXN];
18 
19 int getUp(int j, int k)
20 {
21     return (dp[j] + sum[j] * sum[j]) - (dp[k] + sum[k] * sum[k]);
22 }
23 
24 int getDown(int j, int k)
25 {
26     return 2 * sum[j] - 2 * sum[k];
27 }
28 
29 int getDp(int i, int j)
30 {
31     return dp[j] + (sum[i] - sum[j]) * (sum[i] - sum[j]) + M;
32 }
33 
34 
35 int main()
36 {
37     while (~scanf("%d %d", &N, &M)) {
38         sum[0] = 0;
39         for (int i = 1; i <= N; i++) {
40             scanf("%d", &num[i]);
41             sum[i] = sum[i - 1] + num[i];
42         }
43         int head = 0, tail = 0;
44         for (int i = 1; i <= N; i++) {
45             //这里我假设，当k < j < i时，如果j比k优的话，有：
46             //dp[j] + (sum[i] - sum[j]) ^ 2 + M <= dp[k] + (sum[i] - sum[k]) ^ 2 + M;
47             //化简即有：（dp[j]+ sum[j] ^ 2) - (d[k] + sum[k] ^ 2) <= sum[i] * 2(sum[j] - sum[k])
48             //令yj = dp[j] + sum[j] ^ 2, yk = dp[k] + sum[k] ^ 2;
49             //xj = 2 * sum[j], xk = 2 * sum[k];
50             //于是有(yj - yk)/(xj - xk) <= sum[i]; 这里简记为g[j, k] <= sum[i];
51             //由于我这里假设k < j < i时，j比k优，说明如果满足上面的不等式，k是取不到的
52             //于是就可以把k(概括的讲是j前面的数字剔除掉，于是有了下面head指针的移动
53             while (head < tail && getUp(que[head + 1], que[head])
54                     <= sum[i] * getDown(que[head + 1], que[head])) {
55                 head++;
56             }
57             //根据等式dp[i] = dp[j] + (sum[i] - sum[j]) ^ 2 + M;
58             //此时que[head]保留的就是最优值
59             //这样每次求得的dp[i]就都是最有的了
60             dp[i] = getDp(i, que[head]);
61             //上面假设k < j < i,当我加入新元素x时，有k < j < i < x,若有g[x, i] <= g[i, j];
62             //那么说明此时新加入的x点比原来的i点更优，于是应该替换原来的点i,于是就有了下面
63             //的tail指针左移的情况
64             while (head < tail && getUp(i, que[tail]) * getDown(que[tail], que[tail - 1]) 
65                     <= getUp(que[tail], que[tail - 1]) * getDown(i, que[tail])) {
66                 tail--;
67             }
68             que[++tail] = i;
69         }
70         printf("%d
", dp[N]);
71     }
72     return 0;
73 }
74 
75 
76
View Code

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3480

思路：状态方程很容易写，dp[i][j]表示前i个数，分成j组的最小值，于是可以得出方程：dp[i][j] = min(dp[k][j - 1] + (num[i] - num[k + 1) ^ 2) (其中1 <= k < i).可是这个方程的复杂度可是O(n * m * n)。。对于n <=10000, m <=5000这样的数据规模显然是吃不消的。。。

怎么办呢？

可以试试斜率优化：这里我们假设对于k1 < k2 < i.方程在k2处的取值由于在k1处的取值，于是有

dp[k2][j-1] + (num[i]- num[k2 + 1]) ^2 <=  dp[k1][j-1] + (num[i]- num[k1 + 1]) ^ 2;

两边移项化简可得：dp[k2][j-1] + num[k2+ 1] ^2 - (dp[k1][j-1] + num[k1+ 1] ^2) <= num[i] * (2 * num[k2 + 1] - 2 * num[k1 + 1]);

我们令

yk2 = dp[k2][j-1] + num[k2 + 1] ^ 2；

yk1 = dp[k1][j- 1] + num[k1 + 1] ^ 2；

xk2 = 2 * num[k2 + 1]；

xk1 = 2 * num[k1 + 1];

于是有：(yk2 - yk1)/(xk2 - xk1) <= num[i].

这里我们简记为g[k2, k1] = (yk2 - yk1)/(xk2 - xk1);

由于我们一开始假设对于k1 < k2 < i，有k2比k1优，此时满足的条件是g[k2, k1] <= num[i],那么放过来说，当我们的方程满足g[k2, k1] <= num[i]时，k2比k1优，此时就可以去掉k1,也就是单调队列中的头指针向后移动。

假设对于k1 < k2 < k3,有g[k3, k2] <= g[k2, k1].由于我们之前假设当k2优于k1时有g[k2, k1] <= num[i],则g[k3, k2] <= g[k2,k1] <= num[i].于是就有k3 优于k2,又因为k2优于k1,说明k2是永远都取不到的，这样的话，我们可以直接把k2从队尾删除。然后我们重复上一步骤，直到g[k3, k2] > g[k2, k1].

 1 /*************************************************************************
 2     > File Name: hdu3480.cpp
 3     > Author: syhjh
 4     > Created Time: 2014年03月12日 星期三 09时51分55秒
 5  ************************************************************************/
 6 #include <iostream>
 7 #include <cstdio>
 8 #include <cstring>
 9 #include <algorithm>
10 using namespace std;
11 
12 const int MAXN = (10000 + 100);
13 const int MAXM = (5000 + 50);
14 int N, M;
15 int num[MAXN];
16 int dp[MAXN][MAXM];
17 int que[MAXN];
18 
19 //k1 < k2
20 //yk2 - yk1部分
21 int getUp(int k1, int k2, int j)
22 {
23     int yk2 = dp[k2][j - 1] + num[k2 + 1] * num[k2 + 1];
24     int yk1 = dp[k1][j - 1] + num[k1 + 1] * num[k1 + 1];
25     return yk2 - yk1;
26 }
27 
28 //k1 < k2
29 //xk2 - xk1部分
30 int getDown(int k1, int k2)
31 {
32     int xk2 = 2 * num[k2 + 1];
33     int xk1 = 2 * num[k1 + 1];
34     return xk2 - xk1;
35 }
36 
37 //dp[i][j] = dp[k][j - 1] + (num[i] - num[k + 1]) ^ 2;
38 int getDp(int i, int k, int j)
39 {
40     return dp[k][j - 1] + (num[i] - num[k + 1]) * (num[i] - num[k + 1]);
41 }
42 
43 
44 int main()
45 {
46     int Case, t = 1;
47     scanf("%d", &Case);
48     while (Case--) {
49         scanf("%d %d", &N, &M);
50         for (int i = 1; i <= N; i++) {
51             scanf("%d", &num[i]);
52         }
53         sort(num + 1, num + 1 + N);
54         for (int i = 1; i <= N; i++) {
55             dp[i][1] = (num[i] - num[1]) * (num[i] - num[1]);
56         }
57         que[0] = 1;
58         for (int j = 2; j <= M; j++) {
59             int head = 0, tail = 0;
60             for (int i = j; i <= N; i++) {
61                 while (head < tail && getUp(que[tail], i, j) * getDown(que[tail - 1], que[tail]) <= getUp(que[tail - 1], que[tail], j) * getDown(que[tail], i)) {
62                     tail--;
63                 }
64                 que[++tail] = i;
65                 while (head < tail && getUp(que[head], que[head + 1], j)
66                         <= num[i] * getDown(que[head], que[head + 1])) {
67                     head++;
68                 }
69                 dp[i][j] = getDp(i, que[head], j);
70             }
71         }
72         printf("Case %d: %d
", t++, dp[N][M]);
73     }
74     return 0;
75 }
76 
77 
78 
79
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题目链接：http://poj.org/problem?id=3709

思路：状态方程很容易想，dp[i]表示处理到i为止的最小值，于是有dp[i] = min(dp[j] + (sum[i] - sum[j] - (i - j) * num[j + 1]);

对于 n <= 500000的数据规模，O(n^2)的算法必然要T。

这里可以用斜率优化.

假设对于k1 < k2 < i有k2处的值优于k1处的值，于是有dp[k2] + (sum[i] - sum[k2] - (i - k2) * (num[k2 + 1]) <= dp[k1] + (sum[i] - sum[k1] - (i - k1）* (num[k1 + 1]));

化简后可得：(dp[k2] - sum[k2] + k2 * num[k2 + 1]) - (dp[k1] - sum[k1] + k1 * num[k1 + 1]) <= i * (num[k2 + 1] - num[k1 + 1]);

令yk2 = dp[k2] - sum[k2] + k2 * num[k2 + 1];

yk1 = dp[k1] - sum[k1] + k1 * num[k1 + 1];

xk2 = num[k2 + 1];

xk1 = num[k1 + 1];

于是有（yk2 - yk1) <= i * (xk2 - xk1);

由于我们一开始假设k1 < k2 < i，有k2优于k1,也就是说如果满足上述方程:g[k2, k1] = (yk2 - yk1)/ (xk2 - xk1) <= i成立，那么k2就比k1优，也就是说k1是取不到的，由此队首指针要向后移动。

若k1 < k2 < k3 ，如果有g[k3, k2 ] <= g[k2, k1] 由于g[k2, k1] <= i, 那么g[k3, k2] <= i,也就是说k3比k2优，又k2比k1优，于是k2是取不到的,那么k2可以从队尾删除。

 1 /*************************************************************************
 2     > File Name: poj3709.cpp
 3     > Author: syhjh
 4     > Created Time: 2014年03月12日 星期三 16时32分07秒
 5  ************************************************************************/
 6 #include <iostream>
 7 #include <cstdio>
 8 #include <cstring>
 9 #include <algorithm>
10 using namespace std;
11 
12 const int MAXN = (500000 + 50);
13 typedef long long ll;
14 int N, K;
15 ll num[MAXN], sum[MAXN];
16 ll dp[MAXN];
17 ll que[MAXN];
18 
19 //yk2 - yk1 , k1 < k2 < i
20 ll getUp(int k1, int k2)
21 {
22     ll yk1 = dp[k1] - sum[k1] + k1 * num[k1 + 1];
23     ll yk2 = dp[k2] - sum[k2] + k2 * num[k2 + 1];
24     return yk2 - yk1;
25 }
26 
27 //xk2 - xk1 
28 ll getDown(int k1, int k2)
29 {
30     return num[k2 + 1] - num[k1 + 1];
31 }
32 
33 //dp[i] = dp[j] + (sum[i] - sum[j] - (i - j) * num[j + 1]);
34 ll getDp(int i, int j)
35 {
36     return dp[j] + (sum[i] - sum[j] - (i - j) * num[j + 1]);
37 }
38 
39 
40 int main()
41 {
42     int Case;
43     scanf("%d", &Case);
44     while (Case--) {
45         scanf("%d %d", &N, &K);
46         sum[0] = 0;
47         for (int i = 1; i <= N; i++) {
48             scanf("%lld", &num[i]);
49             sum[i] = sum[i - 1] + num[i];
50         }
51         int head = 0, tail = 0;
52         for (int i = 1; i <= N; i++) {
53             while (head < tail && getUp(que[head], que[head + 1])
54                     <= i * getDown(que[head], que[head + 1])) {
55                 head++;
56             }
57             dp[i] = getDp(i, que[head]);
58             //由于我们要加入的数是i - (k - 1),但是要保证前一组的数至少有k个相同
59             if (i - (K - 1) >= K) {
60                 int x = i - (K - 1);
61                 while (head < tail && getUp(que[tail], x) * getDown(que[tail - 1], que[tail]) <= getUp(que[tail - 1], que[tail]) * getDown(que[tail], x)) {
62                     tail--;
63                 }
64                 que[++tail] = x;
65             }
66         }
67         printf("%lld
", dp[N]);
68     }
69     return 0;
70 }
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题目链接：http://poj.org/problem?id=1180

状态方程比较难想。

dp[i] 表示第i个任务到n的最小花费，于是有dp[i] = min{dp[j] + (S + sumT[i] - sumT[j]) * (sumF[i] - sumF[j]) + (S + sumT[i] - sumT[j]) * sumF[j]} ;

化简后即得：dp[i] = min{dp[j] + (S + sumT[i] - sumT[j]) * sumF[i];

于是令k1 < k2 有k1 优于k2....步骤基本上就是一样的了。

 1 /*************************************************************************
 2     > File Name: poj1180.cpp
 3     > Author: syhjh
 4     > Created Time: 2014年03月12日 星期三 21时26分48秒
 5  ************************************************************************/
 6 #include <iostream>
 7 #include <cstdio>
 8 #include <cstring>
 9 #include <algorithm>
10 using namespace std;
11 
12 const int MAXN = (10000 + 100);
13 int N, S;
14 int t[MAXN], f[MAXN];
15 int sumT[MAXN], sumF[MAXN];
16 int dp[MAXN];
17 int que[MAXN];
18 
19 //yk2 - yk1, k1 < k2;
20 int getUp(int k1, int k2)
21 {
22     return dp[k1] - dp[k2];
23 }
24 
25 //xk2 - xk1;
26 int getDown(int k1, int k2)
27 {
28     return sumT[k1] - sumT[k2];
29 }
30 
31 int getDp(int i, int j)
32 {
33     return dp[j] + (S + sumT[i] - sumT[j]) * sumF[i];
34 }
35 
36 
37 int main()
38 {
39     while (~scanf("%d %d", &N, &S)) {
40         dp[N + 1] = sumT[N + 1] = sumF[N + 1] = 0;
41         for (int i = 1; i <= N; i++) {
42             scanf("%d %d", &t[i], &f[i]);
43         }
44         for (int i = N; i >= 1; i--) {
45             sumT[i] = sumT[i + 1] + t[i];
46             sumF[i] = sumF[i + 1] + f[i];
47         }
48         int head = 0, tail = -1;
49         que[++tail] = N + 1;
50         for (int i = N; i >= 1; i--) {
51             while (head < tail && getUp(que[head + 1], que[head])
52                     <= sumF[i] * getDown(que[head + 1], que[head])) {
53                 head++;
54             }
55             dp[i] = getDp(i, que[head]);
56             while (head < tail && getUp(i, que[tail]) * getDown(que[tail], que[tail - 1])
57                     <= getUp(que[tail], que[tail - 1]) * getDown(i, que[tail])) {
58                 tail--;
59             }
60             que[++tail] = i;
61         }
62         printf("%d
", dp[1]);
63     }
64     return 0;
65 }
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题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2993

思路：ans[i] = min{(sum[i] - sum[j]) / (i - j)), 我们把（i, sum[i])看成一个点，那么不就是求斜率的最大值吗？由于数据规模为10万级别，O（N^2)的算法必然要T。

于是可以用单调队列来优化！

 1 /*************************************************************************
 2     > File Name: hdu2993.cpp
 3     > Author: syhjh
 4     > Created Time: 2014年03月12日 星期三 22时26分13秒
 5  ************************************************************************/
 6 #include <iostream>
 7 #include <cstdio>
 8 #include <cstring>
 9 #include <algorithm>
10 #include <cmath>
11 using namespace std;
12 
13 const int MAXN = (100000 + 100);
14 template < class T > inline T getMax(const T &a, const T &b)
15 {
16     return a > b ? a : b;
17 }
18 
19 int N, K, num[MAXN];
20 double sum[MAXN];
21 double ans;
22 int que[MAXN];
23 
24 int main()
25 {
26     while (~scanf("%d %d", &N, &K)) {
27         sum[0] = 0;
28         for (int i = 1; i <= N; i++) {
29             scanf("%d", &num[i]);
30             sum[i] = sum[i - 1] + num[i] * 1.0;
31         }
32         int head = 0, tail = -1;
33         que[++tail] = 0;
34         ans = 0.0;
35         for (int i = K; i <= N; i++) {
36             int index =  i - K;
37             while (head < tail) {
38                 double y1 = sum[que[tail]] - sum[que[tail - 1]];
39                 double x1 = que[tail] - que[tail - 1];
40                 double y2 = sum[index] - sum[que[tail]];
41                 double x2 = index - que[tail];
42                 if (y1 * x2 >=  y2 * x1) tail--;
43                 else break;
44             }
45             que[++tail] = index;
46             while (head < tail) {
47                 double y1 = sum[que[head]] - sum[i];
48                 double x1 = que[head] - i;
49                 double y2 = sum[que[head + 1]] - sum[i];
50                 double x2 = que[head + 1] - i;
51                 if (y1 * x2 <= y2 * x1) head++;
52                 else break;
53             }
54             ans = getMax(ans, (sum[i] - sum[que[head]]) / (i - que[head]) * 1.0);
55         }
56         printf("%.2lf
", ans);
57     }
58     return 0;
59 }
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题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2829

思路：dp[i][j]表示前j个数组成i组的最小值，w[i]表示1-i的价值，sum[i]表示1-i的和。于是我们可以得出递推方程:dp[i][j] = min{dp[i-1][k] + w[j] - w[k] - sum[k] *  (sum[j] - sum[k])} (i<= k < j);

毫无疑问，如果按照一般的解法，那么复杂度将是O(n^3)，对于n<= 1000的规模显吃不消，那怎么办呢，试试斜率优化!

我们设k1 < k2 < i时，k2优于k1,于是可以得到：dp[i-1][k2] + w[j] - w[k2] - sum[k2] * (sum[j] - sum[k2]) <= dp[i-1][k1] + w[j] - w[k1] - sum[k1] * (sum[j] - sum[k1]);

化简后可得：dp[i-1][k2] - w[k2] + sum[k2] * sum[k2] - (dp[i-1][k1] - w[k1] + sum[k1] * sum[k1]) <= sum[j] * (sum[k2- sum[k1]) ,令

yk1 = dp[i-1][k1] - w[k1] + sum[k1] * sum[k1];

yk2 = dp[i-1][k2] - w[k2] + sum[k2] * sum[k2];

xk1 = sum[k1];

xk2 = sum[k2];

于是有(yk2- yk1)<= sum[j] * (xk2- xk1).由于我们一开始是假设当k1 < k2 < i时，k2处的取值优于k1，于是我们可以得出当满足(yk2 - yk1) <= sum[i] * (xk2 -xk1)（这里我为了方便起见，简记为g[k2, k1] = (yk2 - yk1)/ (xk2 - xk1))时，k2比k1优，那么也就是说k1是取不到的,于是这是我们应该移动队首指针，将k1从队首删除。

设k1 < k2 < k3< i,如果我们有g[k3, k2] <= g[k2, k1]，由于g[k2, k1] <= sum[j],于是g[k3,k2] <= sum[j],那么也就是说k3处由于k2处，又k2优于k1,说明k2是取不到的，于是k2也可以从队尾删除。

这里说一下单调队列的作用,从递推关系式可以看出，我们是要找当前最优的K值，那么que这个单调队列的队首保存的就是当前最有的K值。

 1 /*************************************************************************
 2     > File Name: hdu2829.cpp
 3     > Author: syhjh
 4     > Created Time: 2014年03月13日 星期四 19时50分07秒
 5  ************************************************************************/
 6 #include <iostream>
 7 #include <cstdio>
 8 #include <cstring>
 9 #include <algorithm>
10 using namespace std;
11 
12 const int MAXN = (1000 + 10);
13 int N, M;
14 int num[MAXN], sum[MAXN], w[MAXN]; //w[i]表示1-i算一组的val
15 int dp[MAXN][MAXN]; //dp[i][j]表示前j个数分成i组的最小val
16 int que[MAXN];
17 
18 //yk2 - yk1, k1 < k2;
19 int getUp(int k1, int k2, int i)
20 {
21     int yk1 = dp[i - 1][k1] - w[k1] + sum[k1] * sum[k1];
22     int yk2 = dp[i - 1][k2] - w[k2] + sum[k2] * sum[k2];
23     return yk2 - yk1;
24 }
25 
26 //xk2 - xk1
27 int getDown(int k1, int k2)
28 {
29     return sum[k2] - sum[k1];
30 }
31 
32 //dp[i][j] = dp[i - 1][k] + (w[j] - w[k] - sum[k] * (sum[j] - sum[k]));
33 int getDp(int i, int j, int k)
34 {
35     return dp[i - 1][k] + (w[j] - w[k] - sum[k] * (sum[j] - sum[k]));
36 }
37 
38 int main()
39 {
40     while (~scanf("%d %d", &N, &M)) {
41         if (N == 0 && M == 0) break;
42         sum[0] = w[0] = 0;
43         for (int i = 1; i <= N; i++) {
44             scanf("%d", &num[i]);
45             sum[i] = sum[i - 1] + num[i];
46             w[i] = w[i - 1] + sum[i - 1] * num[i];
47         }
48         for (int i = 1; i <= N; i++) {
49             dp[1][i] = w[i];
50         }
51         for (int i = 2; i <= M + 1; i++) {
52             int head = 0, tail = -1;
53             que[++tail] = i - 1;
54             for (int j = i; j <= N; j++) {
55                 while (head < tail && getUp(que[head], que[head + 1], i)
56                          <= sum[j] * getDown(que[head], que[head + 1])) {
57                     head++;
58                 }
59                 dp[i][j] = getDp(i, j, que[head]);
60                 while (head < tail && getUp(que[tail], j, i) * getDown(que[tail - 1], que[tail]) <= getUp(que[tail - 1], que[tail], i) * getDown(que[tail], j)) {
61                     tail--;
62                 }
63                 que[++tail] = j;
64             }
65         }
66         printf("%d
", dp[M + 1][N]);
67     }
68     return 0;
69 }
70 
71 
72
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PS：单调队列做多了，就能发现只要推出递推方程，然后转化为斜率，那么剩下的基本上就是模板题了！

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