蓝桥杯试题历届试题发现环并查集+dfs

问题描述

　　小明的实验室有N台电脑，编号1~N。原本这N台电脑之间有N-1条数据链接相连，恰好构成一个树形网络。在树形网络上，任意两台电脑之间有唯一的路径相连。

　　不过在最近一次维护网络时，管理员误操作使得某两台电脑之间增加了一条数据链接，于是网络中出现了环路。环路上的电脑由于两两之间不再是只有一条路径，使得这些电脑上的数据传输出现了BUG。

　　为了恢复正常传输。小明需要找到所有在环路上的电脑，你能帮助他吗？

输入格式

　　第一行包含一个整数N。
　　以下N行每行两个整数a和b，表示a和b之间有一条数据链接相连。

　　对于30%的数据，1 <= N <= 1000
　　对于100%的数据, 1 <= N <= 100000， 1 <= a, b <= N

　　输入保证合法。

输出格式

　　按从小到大的顺序输出在环路上的电脑的编号，中间由一个空格分隔。

样例输入

5
1 2
3 1
2 4
2 5
5 3

样例输出

1 2 3 5

解题思路：这一题可以用并查集的数据结构判断是否有环，用dfs递归找到环。

并查集：并查集是用来管理元素分组情况的数据结构。注意并查集并不能高效的进行分割，可以高效地进行：

查询a,b是否同组。
合并a,b所在的组。

具体实现用树形结构，如果a,b所在组相同，则a,b有相同的根结点。合并两组时即让一组的根向另一组相连。

为了避免树形结构下发生退化的情况，在并查集中可以如下操作：

对于每颗树，记录这颗树的高度.(rank)
合并时，rank小的向rank大的连

此外还可以路径压缩，即把每个结点都直接与其根结点相连，树的高度为2.在查询过程中查询过程中递归的所有节点都直接指向根结点。

此时为方便起见，即使树的高度改变，我们也不修改rank的值(rank只是在合并时决定谁向谁连根)。

具体见下实现代码。

若(u,v)之间有边，则将u,v放入同一组。如果在放入u,v之前已经在同一组，即从u可以到v，那么加入边(u,v)后就形成了一个环。

以u或v作为环的起点，用dfs方法遍历每个顶点相邻的顶点，看最后是否回到了起点，如果沿某一路径回到起点，则说明这些

顶点在这个环内。

实现代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;

const int Max_N = 100000;

//输入
int n;
int s;//环的起点 
vector<int> G[Max_N+1];//图
vector<int> V;//记录环
bool visited[Max_N+1];//结点是否访问过(避免重复访问) 

int par[Max_N+1];//并查集
int rank[Max_N+1];//并查集高度

//初始化并查集
void init(int n)
{
    for(int i=1; i<=n; i++){//刚开始互相没有边相连 
        par[i] = i;
    }    
} 

//找下标x的根 
int find(int x)
{
    return x==par[x] ? x:par[x] = find(par[x]);//par[x] = find(par[x])即路径压缩 
}

//合并
void unite(int x,int y)
{
    x = find(x);    y=find(y);//先找到他们的根
    
    if( x==y ){
        return;//同根 直接返回 
    }    
    
    if( rank[x]<rank[y] ){
        par[x] = y;//将x所在的树合并在y下 
    }
    else
    {
        par[y] = x;
        if( rank[x]==rank[y] ){//如果高度相同 更新rank[x] 
            rank[x]++;
        }
    }
} 

//x,y是否在同一组 即是否同根 
bool same(int x,int y)
{
    return find(x)==find(y);    
} 
//dfs 
bool dfs(int u)
{
    if( visited[u] )//如果最后访问的结点回到起点,则在环内 
    {
        if( u==s )
        {
            return true;
        }
        return false;//否则不在环内 
    }
    
    visited[u] = true;//u已经访问过 
    
    for(int i=0; i<G[u].size(); i++)//遍历顶点 u 的相邻边 
    {
        int v = G[u][i];//下一个顶点
        if( dfs(v) )//在环内 
        {
            V.push_back(v);
            return true;    
        } 
    }
    return false;//遍历所有边都不在环内 
} 

void solve()
{
    dfs(s);
    
    sort(V.begin(),V.end());
    
    vector<int>::iterator it;
    for( it=V.begin(); it!=V.end(); it++)
    {
        printf("%d ",*it);
    }
    printf("
");
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    init(n);
    while( n-- )
    {
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        G[u].push_back(v);    G[v].push_back(u);
        if( same(u,v) ){//u,v已经有路径了 
            s = u;//起点下标 
        }
        unite(u,v);
    }
    
    solve();
    
    return 0;
}

实际上在dfs(v)判断为true后直接return的方法可能会出错（不过在样例中没有出现）。比如实际环为 1 2 3，但出现dfs(1)->dfs(2)->dfs(1)的情况，(如输入 3 ;1 2; 1 3; 2 3)

此时保存的环为1 2。所以更好的方法是在dfs最后有true的情况就输出true，否则flase，并且保证不重复push_back节点。

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