洛必达法则求极限

洛必达法则求极限

洛必达法则

未定式:如果当 (x ightarrow a( ext{或 } x ightarrow infty)) 时两个函数 (f(x))(F(x)) 都趋于零或都趋于无穷大,那么极限 (displaystyle lim_{x ightarrow a \(x ightarrow infty)}{cfrac{f(x)}{F(x)}}) 可能存在、也可能不存在,通常把这种极限叫做 未定式 ,分别简记为 (cfrac{0}{0})(cfrac{infty}{infty})

洛必达法则(L'Hôpital's rule) 主要是以下两个定理:

定理1:

  1. (x ightarrow a) 时,函数 (f(x))(F(x)) 都趋于零;
  2. 在点 (a) 的某去心邻域内, (f'(x))(F'(x)) 都存在且 (F'(x) eq 0)
  3. (displaystyle lim_{x ightarrow a}{cfrac{f'(x)}{F'(x)}}) 存在(或为无穷大),则有

[lim_{x ightarrow a}{cfrac{f(x)}{F(x)}} = lim_{x ightarrow a}{cfrac{f'(x)}{F'(x)}}. ]

证明如下图:

洛必达法则证明1.png

洛必达法则证明1

定理2:

  1. (x ightarrow infty) 时,函数 (f(x))(F(x)) 都趋于零或无穷;
  2. (lvert x vert > N) 时, (f'(x))(F'(x)) 都存在且 (F'(x) eq 0)
  3. (displaystyle lim_{x ightarrow infty}{cfrac{f'(x)}{F'(x)}}) 存在(或为无穷大),则有

[lim_{x ightarrow infty}{cfrac{f(x)}{F(x)}} = lim_{x ightarrow infty}{cfrac{f'(x)}{F'(x)}}. ]

维基百科上对洛必达法则的描述为:

令实数 (displaystyle cin {ar {mathbb {R} }}) ,函数 (f(x),g(x)) 在以 (x = c) 为端点的开区间可微(displaystyle lim_{x ightarrow c}{cfrac{f'(x)}{g'(x)}} in ar{mathbb {R}}) ,且 (g'(x) eq 0) ,如果 (displaystyle lim_{x ightarrow c}{f(x)} = lim_{x ightarrow c}{g(x)} = 0)(displaystyle lim_{x ightarrow c}{lvert f(x) vert} = lim_{x ightarrow c}{lvert g(x) vert} = infty) 其中一者成立,则有:

[lim_{x ightarrow c}{cfrac{f(x)}{g(x)}} = lim_{x ightarrow c}{cfrac{f'(x)}{g'(x)}} ]

洛必达法则应用

类型A: (displaystyle cfrac{pm infty}{pm infty})

例题:

(1)求 (displaystyle lim_{x ightarrow +infty}{cfrac{ln x}{x^n}} \, (n > 0).)

解:(displaystyle lim_{x ightarrow +infty}{cfrac{ln x}{x^n}} = lim_{x ightarrow +infty}{cfrac{cfrac{1}{x}}{nx^{n - 1}}} = lim_{x ightarrow +infty}{cfrac{1}{nx^n}} = 0)

(2)求 (displaystyle lim_{x ightarrow +infty}{cfrac{x^n}{mathrm{e}^{lambda x}}} \, (n ext{为正整数,}lambda > 0).)

解:相继应用洛必达法则 n 次,得

[lim_{x ightarrow +infty}{cfrac{x^n}{mathrm{e}^{lambda x}}} = lim_{x ightarrow +infty}{cfrac{nx^{n - 1}}{lambda mathrm{e}^{lambda x}}} = lim_{x ightarrow +infty}{cfrac{n(n - 1)x^{n - 2}}{lambda^2 mathrm{e}^{lambda x}}} = cdots = lim_{x ightarrow +infty}{cfrac{n!}{lambda^n mathrm{e}^{lambda x}}} = 0. ]

类型B1: (displaystyle infty - infty)

例题:求 (displaystyle lim_{x ightarrow frac{pi}{2}}{(sec x - an x)}.)

解:(displaystyle lim_{x ightarrow frac{pi}{2}}{(sec x - an x)} = lim_{x ightarrow frac{pi}{2}}{cfrac{1 - sin x}{cos x}} = lim_{x ightarrow frac{pi}{2}}{cfrac{- cos x}{-sin x}} = 0)

类型B2: (0 cdot pm infty)

例题:求 (displaystyle lim_{x ightarrow 0^+}{x^n ln x} \, (n>0).)

解:

[ lim_{x ightarrow 0^+}{x^n ln x} = lim_{x ightarrow 0^+}{cfrac{ln x}{x^{-n}}} = lim_{x ightarrow 0^+}{cfrac{cfrac{1}{x}}{-nx^{-n-1}}} = lim_{x ightarrow 0^+}{cfrac{-x^n}{n}} = 0 ]

类型C: (1^{pm infty}, 0^0, infty ^0)

例题:求 (displaystyle lim_{x ightarrow 0^+}{x^x}.)

解:设 (displaystyle y = x^x) ,取对数得

[ln y = x ln x ]

(displaystyle x ightarrow 0^+) 时,上式右端是 (0 cdot infty) 型未定式

[lim_{x ightarrow 0^+}{ln y} = lim_{x ightarrow 0^+}{(x ln x)} = 0 ]

因为 (displaystyle y = mathrm{e}^{ln y}) ,而 (displaystyle lim y = lim{mathrm{e}^{ln y}} = mathrm{e}^{lim ln y}) (当 (x ightarrow 0^+)),所以

[lim_{x ightarrow 0^+}{x^x} = lim_{x ightarrow 0^+}{y} = mathrm{e}^0 = 1. ]

洛必达法则类型的总结

  • 类型A 如果极限是分子式的形式,例如 (displaystyle lim_{x ightarrow a}{cfrac{f(x)}{g(x)}}) ,应先检查是否为不定式。若为 (displaystyle cfrac{0}{0})(displaystyle cfrac{pm infty}{pm infty}) 型,则可以使用洛必达法则。

  • 类型B1 如果是求差的极限,如 (displaystyle lim_{x ightarrow a}{(f(x) - g(x))}) ,可以通过通分同时除以一个共轭表达式从而转化为类型A。

  • 类型B2 如果极限是乘积的形式,如 (displaystyle lim_{x ightarrow a}{f(x)g(x)}) ,应选择两个表达式中较简单的一个取倒数把它移到分母(尽量不要选用对数作分母),就可以转化为 (displaystyle lim_{x ightarrow a}{cfrac{g(x)}{1/f(x)}})

  • 类型C 如果极限为指数形式,且该指数的底和指数部分都含变量,如 (displaystyle lim_{x ightarrow a}{f(x)^{g(x)}}) ,应先对其取对数:

    [lim_{x ightarrow a}{ln{f(x)^{g(x)}}} = lim_{x ightarrow a}{g(x) ln{f(x)}} ]

    这样就转化为类型 B2 或 A ,这时有:

    [lim_{x ightarrow a}{ln{f(x)^{g(x)}}} = L ]

    r然后两边取指数,可得:

    [lim_{x ightarrow a}{f(x)^{g(x)}} = mathrm{e}^L ]

作者: 暮颜 —— 衣带渐宽终不悔
出处:https://www.cnblogs.com/vocaloid-fan1995/
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