hdu 2973"YAPTCHA"(威尔逊定理)

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题意：

　　给出自然数 n，计算出 S_n的值，其中 [ x ]表示不大于 x 的最大整数。

题解：

　　根据威尔逊定理，如果 p 为素数，那么 (p-1)! ≡ -1(mod p)，即 (p-1)! + 1 = p*q.

　　令 f(K) =

　　①如果 3K+7 为素数，则 (3K+7-1)! ≡ -1(mod 3K+7)，即 (3K+6)! = (3K+7)*q -1.

　　那么表达式可化简为 [ (3K+7)*q / (3K+7) - 1 / (3K+7) ] = [ q - 1 / (3K+7)].

　　易得 q-1 < q - 1 / (3K+7) < q ，所以=q-1，那么 f(K)= q-(q-1) = 1.

　　②如果 3K+7 为合数，则 (3K+6)! 能被 (3K+7) 整除，f(K) = 0;

　　由此，本题转化为求解K在[1,n]范围内 (3K+7) 的素数个数。

　　对②的证明：

令p=a*b，(1<a<=b)
①若a!=b，则(p-1)!=1*2*..*a*..*b*..*(p-1)，显然 (a*b) | (p-1)!;
②若a==b且为素数，则当a>2时，a*b=a*a>2*a,
若p>4，则(p-1)! = 1*2*..*a*..*(2a)*..(p-1)，同样有(a*b)|(p-1)!;
综上，如果p为合数，则 p | (p-1)!;

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AC代码：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cmath>
 4 using namespace std;
 5 const int maxn=1e6+10;
 6 
 7 int n;
 8 int ans[maxn];//ans[i]:[1,i]中，满足 3K+7 为素数的整数个数
 9 
10 bool isPrime(int num)
11 {
12     int x=sqrt(num);
13     for(int i=2;i <= x;++i)
14         if(num%i == 0)
15             return 0;
16     return 1;
17 }
18 void primeTable()
19 {
20     ans[1]=0;
21     for(int i=2;i < maxn;++i)//离散计算出所有的结果
22         ans[i]=ans[i-1]+isPrime(3*i+7);
23 }
24 int main()
25 {
26     int test;
27     scanf("%d",&test);
28     primeTable();
29     while(test--)
30     {
31         scanf("%d",&n);
32         printf("%d
",ans[n]);
33     }
34     return 0;
35 }

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