积分第一中值定理

设f(x)在[a,b]上连续，g(x)在[a,b]上可积且不变号，则存在ξ∈[a,b]，使得

$∫^b_af(x)g(x)dx=f(ξ)∫^b_ag(x)dx$

证明：不妨设g(x)≥0，因为f(x)在[a,b]上连续，故有最大值M和最小值m，于是在[a,b]上有

$mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)$

由f(x)在[a,b]上连续可知f(x)在[a,b]上可积，则f(x)g(x)在[a,b]上可积，则

$m∫^b_ag(x)dx≤∫^b_af(x)g(x)dx≤M∫^b_ag(x)dx$

若(∫^b_ag(x)dx=0，则∫^b_af(x)g(x)dx=0，则对于任意ξ∈[a,b]都满足∫^b_af(x)g(x)dx=f(ξ)∫^b_ag(x)dx)

当(∫^b_ag(x)dx＞0)时，又有

$m≤frac{∫^b_af(x)g(x)dx}{∫^b_ag(x)dx}≤M$

即(k=frac{∫^b_af(x)g(x)dx}{∫^b_ag(x)dx})是介于m和M之间的数，由界值定理可知，有ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=k，即

$∫^b_af(x)g(x)dx=f(ξ)∫^b_ag(x)dx$