Cauchy数列：设({x_n})为一数列，如果对于任意给定的ε＞0，都存在正整数N，使得
$|x_m-x_n|＜ε，∀m,n＞N$
则称({x_n})为Cauchy数列。
Cauchy收敛准则：数列({x_n})收敛的充分必要条件是它是Cauchy数列。
证明：先证必要性，设({x_n})为收敛于A的数列，由数列极限的定义，对任意ε＞0，存在正整数N，当m,n＞N时有
$|x_m-A|＜ε，$|x_n-0|＜ε
所以 $|x_m-x_n|＜2ε$
由ε的任意性，数列({x_n})是Cauchy数列。
下证充分性，设数列({x_n})是Cauchy数列。
取ε=1，存在正整数N，使得(|x_m-x_n|＜1，∀m,n＞N)
取n=N+1，有(|x_m-x_{N+1}|＜1，∀m＞N)，从而(|x_m|＜1+|x_{N+1}|，∀m＞N)
令(M=1+∑_{k=1}^{N+1}|x_k|)，则(|x_n|≤M)，所以数列({x_n})有界，即存在上下极限。
由定义，$-ε＜x_n-x_m＜ε，∀m,n＞N$
若m给定，令n→∞，取下极限(-ε≤lim(下极限){n→∞}x_n-x_m≤ε)
令m→∞，取上极限(-ε≤lim(下极限){n→∞}x_n-lim(上极限)_{n→∞}x_m≤ε)
由ε的任意性，数列({x_n})上下极限相等，即数列({x_n})收敛。