算数-集合平均值不等式

设(x_1,x_2,x_3.....x_n)为n个正整数，它们的算数平均值为(A_n=frac{x_1+x_2+x_3+.....+x_n}{n})，它们的几何平均值为(G_n=(x_1x_2x_3.....x_n)^{1/n}，对于任意正实数x_1,x_2,x_3.....x_n)总有(A_n≥G_n)

证明：(ln(frac{G_n}{A_n}))

(=ln(frac{x_1x_2x_3...x_n}{A_n^n})^{1/n})

(=(1/n)ln(frac{x_1x_2x_3.....x_n}{A_n^n}))

(=(1/n)ln(frac{x_1}{A_n}*frac{x_2}{A_n}*frac{x_3}{A_n}.....frac{x_n}{A_n}))

(=(1/n)(lnfrac{x_1}{A_n}+lnfrac{x_2}{A_n}+lnfrac{x_3}{A_n}+.....+lnfrac{x_n}{A_n}))

(≤(1/n)(frac{x_1}{A_n}-1+frac{x_2}{A_n}-1+frac{x_3}{A_n}-1+.....+frac{x_n}{A_n}-1))

(=(1/n)(frac{x_1+x_2+x_3+.....+x_n}{A_n}-n))

(=(1/n)(n-n))

=0

即(ln(frac{G_n}{A_n})≤0)，因为(A_n,G_n)均为正实数，所以(A_n≥G_n)，当且仅当(lnfrac{x_m}{A_n}=frac{x_m}{A_n}-1)，其中m=1,2,3.....,n，即对于任意m=1,2,3,.....m，都有(lnfrac{x_m}{A_n}=0)，即(frac{x_m}{A_n}=1)，即(x_m=A_n)，即(x_1=x_2=x_3=.....=x_n)时取等。