【LeetCode】70. 爬楼梯

【题目描述】

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：
输入： 2
输出： 2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：
输入： 3
输出： 3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

【解题思路】

一、递归方法

与青蛙跳台阶问题，其原理是完全一样的：

当n等于1的时候，只需要跳一次即可，只有一种跳法，记f(1)=1；
当n等于2的时候，可以先跳一级再跳一级，或者直接跳二级，共有2种跳法，记f(2)=2；
当n等于3的时候，他可以从一级台阶上跳两步上来，也可以从二级台阶上跳一步上来，所以总共有f(3)=f(2)+f(1)；

同理当等于n的时候，总共有f(n)=f(n-1)+f(n-2)(这里n>2)种跳法。

所以如果我们求上到n阶有多少种，代码很简单，直接递归就行：

1 int climbStairs(int n){
2     if( n == 1 )
3         return 1;
4     if( n == 2 )
5         return 1;
6 
7     return climbStairs( n-1 ) + climbStairs( n-2 );
8 }

但是，当n比较大的时候会超时。如果还想使用递归，可以改为尾递归的方式：

 1 int Fibonacci(int n, int a, int b)
 2 {
 3     if (n <= 1)
 4         return b;
 5     return Fibonacci(n - 1, b, a + b);
 6 }
 7 
 8 int climbStairs(int n)
 9 {
10     return Fibonacci( n, 1, 1 );
11 }

二、非递归方法（动态规划）

爬第n阶楼梯的方法数量，等于以下两部分之和：

爬上 n-1 阶楼梯的方法数量。因为再爬1阶就能到第n阶；
爬上 n-2 阶楼梯的方法数量，因为再爬2阶就能到第n阶；

所以我们得到公式 dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]；
同时需要初始化 dp[0]=1和 dp[1]=1；

 1 int climbStairs(int n)
 2 {
 3     int *dp;
 4     int i;
 5     int val;
 6 
 7     dp = (int *)malloc( sizeof(int) * (n + 1) );
 8     dp[0] = 1;
 9     dp[1] = 1;
10     for( i = 2; i <= n; i++ ) 
11     {
12         dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
13     }
14     val = dp[n];
15 
16     free(dp);
17 
18     return val;
19 }

三、非递归方法优化（滚动数组）

我们看到上面的数组当前值是依赖他前面两个值的（前两个除外），我们只需要用两个临时变量即可，不需要申请一个数组；

int climbStairs(int n)
{
    int i;
    int p = 0, q = 0, r = 1;
    for ( i = 1; i <= n; i++ ) 
    {
        p = q; 
        q = r; 
        r = p + q;
    }
    return r;
}

参考引用：

https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/solution/pa-lou-ti-by-leetcode-solution/

https://leetcode-cn.com/leetbook/read/top-interview-questions-easy/xn854d/

https://leetcode-cn.com/problems/qing-wa-tiao-tai-jie-wen-ti-lcof/solution/mian-shi-ti-10-ii-qing-wa-tiao-tai-jie-wen-ti-dong/