整除式

首先同余的一个理论基石就是整除式

(amid b) 表示 (a) 整除 (b) 。

有几个性质：

[(a,b)=1, amid bc Rightarrow amid c \ amid b,amid c Rightarrow amid gcd(b,c) \ ]

同余恒等式

类比普通的实数恒等式 (a = b)，同余恒等式也有一些可操作的性质。

这些性质给出了处理同余恒等式的一些方法。

基本性质

同加同减

显然地，有

[aequiv b(mod m) LeftarrowRightarrow a+c equiv b+c (mod m) ]

挺容易验证的。

同乘

同样显然地，有

[aequiv b(mod m)LeftarrowRightarrow ac equiv bc(mod m) ]

与整除式的联系

基本

刚才说了整除式是同余理论的一个基石就是因为以下一个等价式：

[aequiv b(mod m) LeftarrowRightarrow a-b equiv0(mod m) LeftarrowRightarrow mmid(a-b) ]

可以用这个推一些同余恒等式的性质。

恒等式合并（拆分）

[a equiv b(mod m), aequiv b(mod n) Rightarrow mmid(a-b), nmid (a-b) Rightarrow lcm(m,n)mid(a-b) ]

就得到了

[a equiv b(mod lcm[n,m]) ]

消去（同除）

[kaequiv kb(mod m) LeftarrowRightarrow mmid k(a-b) LeftarrowRightarrow dfrac{m}{gcd(m,k)}Bigg|dfrac{k}{gcd(m,k)}(a-b) ]

就得到了 (dfrac{m}{gcd(m,k)}Bigg|(a-b) LeftarrowRightarrow a equiv b (mod dfrac{m}{gcd(m,k)})) （消去 (dfrac{k}{gcd(m,k)}) 是因为 (gcd(dfrac{m}{gcd(m,k)},dfrac{k}{gcd(m,k)})=1)），常用的特殊形式就是 (k) 和 (m) 互质的时候直接消去 (k) 而恒等式的其他部分不做任何变化。

剩余系

膜法剩余系

对于一个数 (m)，称膜 (m) 的剩余系是 ({0,1,2,cdots,m-1}) 。

简化剩余系

对于一个数 (m)，称膜 (m) 的简化剩余系是 ({xmid x在 m的膜法剩余系中且 gcd(x,m)=1})

逆元

基本概念和线性同余方程解法

逆元就是 inv， inv 就是逆元。

对于一个二元运算，恒等元（幺元）就是任何元素 (x) 和它运算的结果都是这个原来这个元素 (x) 的元素。

一个元素运算上它的逆元等于幺元，很显然一个数的逆元是唯一的。

对于膜 (m) 剩余系里的数，一个数 (x) 的逆元就是元素 (y) 使得 (x*yequiv 1(mod m))。

然而数 (x) 并不一定存在逆元。

对于膜 (m) 剩余系里的元素，只有它同时在膜 (m) 的简化剩余系的时候，它才有逆元。

可以用裴蜀定理来证明，这是因为：

[axequiv b(mod m) LeftarrowRightarrow ax+my = b ]

欧拉定理解法

在 (gcd(a,m)=1) 的情况下，有：

[a^{varphi(m)} equiv 1(mod m) ]

也就是 (a^{varphi(m)-1} = inv(a) mod m) ，当 (m) 为素数时 (varphi(m)=m-1) 。

证明： 记 (m) 的简化剩余系为 (sf{t_1,t_2,cdots,t_{varphi(m)}}) ，显然对于一个与 (m) 互质的数 (a)， (sf{t_1,t_2,cdots,t_{varphi(m)}} = {a*t_1,a*t_2,cdots,a*t_{varphi(m)}}) ，这是因为 (a*t_i equiv a*t_j (mod m) LeftarrowRightarrow a_i equiv a_j(mod m))（还记得同余恒等式的“消去”吗？），与集合的不可重复性矛盾。

这就得出了：

[t_1*t_2*cdots*t_{varphi(m)} equiv a^{varphi(m)} * t_1*t_2*cdots*t_{varphi(m)} (mod m) ]

由于膜 (m) 简化剩余系里的数与 (m) 都互质，所以可以消去，最终得到：

[a^{varphi(m)} equiv 1 (mod m) ag{gcd(a,m)=1} ]