八、(本题10分) 设 $varphi$ 是欧氏空间 $V$ 上的线性算子, $g(lambda)$ 是 $varphi$ 的极小多项式. 证明: $varphi$ 是正规算子的充要条件是对 $g(lambda)$ 的任一首一不可约因式 $g_i(lambda)$, 以下两个条件都成立:
(1) $mathrm{Ker\,} g_i(varphi)perpmathrm{Im\,}g_i(varphi)$;
(2) 任取 $mathrm{Ker\,} g_i(varphi)$ 中两个正交的向量 $alpha,eta$, 则 $varphi(alpha)$ 与 $varphi(eta)$ 也正交.
证明 先证必要性. 设 $varphi$ 是实正规算子, 由复旦高代教材的定理 9.7.1 可知, 极小多项式$g(lambda)$ 无重因式, 即 $g(lambda)=g_1(lambda)g_2(lambda)cdots g_k(lambda)$, 其中 $g_i(lambda)$ 是 $g(lambda)$ 的互异首一不可约因式, 并且 $$V=mathrm{Ker\,} g_1(varphi)perpmathrm{Ker\,} g_2(varphi)perpcdotsperpmathrm{Ker\,} g_k(varphi).qquad(*)$$ 下面我们用三种方法来证明条件 (1).
方法一 对任意的 $i eq j$, 由 $(g_i(lambda),g_j(lambda))=1$ 可知, 存在实系数多项式 $u(lambda),v(lambda)$, 使得 $g_i(lambda)u(lambda)+g_j(lambda)v(lambda)=1$, 于是 $g_i(varphi)u(varphi)+g_j(varphi)v(varphi)=I_V$. 任取 $vinmathrm{Ker\,} g_j(varphi)$, 则有 $v=g_i(varphi)u(varphi)(v)+v(varphi)g_j(varphi)(v)=g_i(varphi)u(varphi)(v)inmathrm{Im\,}g_i(varphi)$, 于是 $mathrm{Ker\,} g_j(varphi)subseteqmathrm{Im\,}g_i(varphi)$, 进一步 $sum_{j eq i}mathrm{Ker\,} g_j(varphi)subseteqmathrm{Im\,}g_i(varphi)$. 再由线性映射的维数公式及 (*) 式即得 $mathrm{Im\,}g_i(varphi)=sum_{j eq i}mathrm{Ker\,} g_j(varphi)=perp_{j eq i}mathrm{Ker\,} g_j(varphi)$, 从而 $mathrm{Ker\,} g_i(varphi)perpmathrm{Im\,}g_i(varphi)$.
方法二 对任意的 $vin V$, $0=g(varphi)(v)=prod_{j eq i}g_j(varphi)cdot g_i(varphi)(v)$, 由此即得 $g_i(varphi)(v)inmathrm{Ker\,}prod_{j eq i}g_j(varphi)$, 从而由白皮书的例 5.74 可知 $mathrm{Im\,}g_i(varphi)subseteqmathrm{Ker\,}prod_{j eq i}g_j(varphi)=oplus_{j eq i}mathrm{Ker\,} g_j(varphi)$. 再由线性映射的维数公式及 (*) 式即得 $mathrm{Im\,}g_i(varphi)=oplus_{j eq i}mathrm{Ker\,} g_j(varphi)=perp_{j eq i}mathrm{Ker\,} g_j(varphi)$, 从而 $mathrm{Ker\,} g_i(varphi)perpmathrm{Im\,}g_i(varphi)$.
方法三 因为 $g_i(lambda)$ 是实系数多项式, 所以 $g_i(varphi)$ 仍然是实正规算子. 由复旦高代教材的引理 9.6.1 可知, $|g_i(varphi)(v)|=|g_i(varphi)^*(v)|$, 于是对任意的 $vinmathrm{Ker\,} g_i(varphi)$, 有 $g_i(varphi)^*(v)=0$. 再任取 $u=g_i(varphi)(w)inmathrm{Im\,}g_i(varphi)$, 我们有 $(v,u)=(v,g_i(varphi)(w))=(g_i(varphi)^*(v),w)=0$, 这就证明了 $mathrm{Ker\,} g_i(varphi)perpmathrm{Im\,}g_i(varphi)$.
令 $varphi_i$ 为 $varphi$ 在 $mathrm{Ker\,} g_i(varphi)$ 上的限制, 则 $varphi_i$ 仍为实正规算子且极小多项式为 $g_i(lambda)$. 我们称条件 (2) 为 $varphi_i$ 保持向量的正交性. 若 $g_i(lambda)=lambda-c_i$, 则 $varphi_i=c_iI$ 为纯量变换, 它显然保持向量的正交性. 若 $g_i(lambda)=(lambda-a_i)^2+b_i^2$, 其中 $b_i eq 0$, 则 $varphi_i$ 在某组标准正交基下的表示矩阵为 $A_i=mathrm{diag}Bigg{egin{pmatrix}a_i & b_i \ -b_i & a_i end{pmatrix},cdots,egin{pmatrix}a_i & b_i \ -b_i & a_i end{pmatrix}Bigg}$, 于是 $varphi_i^*$ 在同一组基下的表示矩阵为 $A_i'$, 由 $A_i'A_i=(a_i^2+b_i^2)I$ 可得 $varphi_i^*varphi_i=(a_i^2+b_i^2)I$. 对 $mathrm{Ker\,} g_i(varphi)$ 中任意两个正交向量 $alpha,eta$, 我们有 $(varphi(alpha),varphi(eta))=(alpha,varphi_i^*varphi_i(eta))=(alpha,(a_i^2+b_i^2)eta)=(a_i^2+b_i^2)(alpha,eta)=0$, 即 (2) 也成立.
再证充分性. 设欧氏空间 $V$ 上的线性算子 $varphi$ 满足条件 (1) 和 (2), 设 $g(lambda)=g_1(lambda)^{r_1}g_2(lambda)^{r_2}cdots g_k(lambda)^{r_k}$, 其中 $g_i(lambda)$ 是 $g(lambda)$ 的互异首一不可约因式. 若 $r_1>1$, 则对任一 $vin V$, $g_1(varphi)^{r_1-1}g_2(varphi)^{r_2}cdots g_k(varphi)^{r_k}(v)inmathrm{Ker\,} g_1(varphi)capmathrm{Im\,}g_1(varphi)=0$, 于是 $varphi$ 也适合多项式 $g_1(lambda)^{r_1-1}g_2(lambda)^{r_2}cdots g_k(lambda)^{r_k}$, 这与 $g(lambda)$ 是极小多项式相矛盾, 因此 $g(lambda)=g_1(lambda)g_2(lambda)cdots g_k(lambda)$. 由复旦高代教材的习题 7.4.10 或白皮书的例 7.21 可知 $V=mathrm{Ker\,} g_1(varphi)oplusmathrm{Ker\,} g_2(varphi)opluscdotsoplusmathrm{Ker\,} g_k(varphi)$. 由必要性 (1) 的方法一或方法二完全类似的讨论可知 $mathrm{Im\,}g_i(varphi)=oplus_{j eq i}mathrm{Ker\,} g_j(varphi)$, 再由 (1) 可知, 对任意的 $i eq j$, $mathrm{Ker\,} g_i(varphi)perpmathrm{Ker\,} g_j(varphi)$, 于是 $$V=mathrm{Ker\,} g_1(varphi)perpmathrm{Ker\,} g_2(varphi)perpcdotsperpmathrm{Ker\,} g_k(varphi).$$ 若 $g_i(lambda)=lambda-c_i$, 则 $varphi_i=c_iI$ 为纯量变换, 于是存在 $mathrm{Ker\,} g_i(varphi)$ 的一组标准正交基, 使得 $varphi_i$ 的表示矩阵是纯量阵 $c_iI$. 若 $g_i(lambda)=(lambda-a_i)^2+b_i^2$, 其中 $b_i eq 0$, 则 $varphi_i$ 是非零线性变换且保持 $mathrm{Ker\,} g_i(varphi)$ 中向量的正交性. 由复旦高代教材第九章复习题 54 或白皮书的例 9.96 可知, 存在正实数 $k_i$, 使得 $varphi_i^*varphi_i=k_iI$, 于是 $varphi_i$ 是 $mathrm{Ker\,} g_i(varphi)$ 上的正规算子, 从而存在一组标准正交基, 使得 $varphi$ 的表示阵为 $A_i=mathrm{diag}Bigg{egin{pmatrix}a_i & b_i \ -b_i & a_i end{pmatrix},cdots,egin{pmatrix}a_i & b_i \ -b_i & a_i end{pmatrix}Bigg}$. 将 $mathrm{Ker\,} g_i(varphi)$ 的标准正交基拼成全空间 $V$ 的一组标准正交基, 则 $varphi$ 在这组标准正交基下的表示矩阵为 $$mathrm{diag}Bigg{egin{pmatrix}a_1 & b_1 \ -b_1 & a_1 end{pmatrix},cdots,egin{pmatrix}a_r & b_r \ -b_r & a_r end{pmatrix},c_{2r+1},cdots,c_nBigg},$$ 这是一个实正规阵, 从而 $varphi$ 是实正规算子. $Box$
注 16级的何陶然同学、梁嘉豪同学、朱民哲同学和李飞虎同学给出了本题必要性的证明, 但充分性的完整证明没有一人给出.