[问题2014A10] 解答
考虑如下变形: [(I_n-A)^2=(AA'-A)(I_n-A)=A(A'-I_n)(I_n-A)=-A(I_n-A)'(I_n-A).] 因为 (A) 是非异阵, 故 [mathrm{rank}Big((I_n-A)^2Big)=mathrm{rank}Big((I_n-A)'(I_n-A)Big).cdots(1)] 由复旦高代书第 179 页复习题 41 可知 [mathrm{rank}Big((I_n-A)'(I_n-A)Big)=mathrm{rank}(I_n-A).cdots(2)] 由 (1) 式和 (2) 式即得结论. (Box)