[问题2014A05] 解答
(1) 将矩阵 (A) 分解为两个矩阵的乘积:
[A=egin{bmatrix} 1 & 1 & cdots & 1 & 1 \ x_1 & x_2 & cdots & x_n & x \ vdots & vdots & & vdots & vdots \ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & cdots & x_n^{n-1} & x^{n-1} \ x_1^n & x_2^n & cdots & x_n^n & x^n end{bmatrix} egin{bmatrix} 1 & x_1 & cdots & x_1^{n-1} & 0 \ 1 & x_2 & cdots & x_2^{n-1} & 0 \ vdots & vdots & & vdots & vdots \ 1 & x_n & cdots & x_n^{n-1} & 0 \ 0 & 0 & cdots & 0 & 1 end{bmatrix}.]
由矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积可得
[|A|=egin{vmatrix} 1 & 1 & cdots & 1 & 1 \ x_1 & x_2 & cdots & x_n & x \ vdots & vdots & & vdots & vdots \ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & cdots & x_n^{n-1} & x^{n-1} \ x_1^n & x_2^n & cdots & x_n^n & x^n end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & x_1 & cdots & x_1^{n-1} & 0 \ 1 & x_2 & cdots & x_2^{n-1} & 0 \ vdots & vdots & & vdots & vdots \ 1 & x_n & cdots & x_n^{n-1} & 0 \ 0 & 0 & cdots & 0 & 1 end{vmatrix}]
[=(x-x_1)(x-x_2)cdots(x-x_n)prod_{1leq i<jleq n}(x_j-x_i)^2.\,\,Box]
(2) 记 (D_m) 为所求的行列式, 我们来求 (D_m) 的递推式. 显然, (D_1=|A|). 一般的, 我们可以选择第 (1) 行, 第 (m+1) 行, (cdots), 第 ((n-1)m+1) 行进行 Laplace 展开, 注意到包含于这 (n) 行可能非零的 (n) 阶子式只有一个, 即为 (|A|), 其对应的代数余子式即为 (D_{m-1}). 因此, 我们有 [D_m=|A|cdot D_{m-1},] 从而 (D_m=|A|^m). (Box)