[问题2014S14] 解答
首先, 满足条件的 (varphi) 的全体特征值都为零. 事实上, 任取 (varphi) 的特征值 (lambda), 对应的特征向量为 (0 eqxiin V), 即 (varphi(xi)=lambdaxi), 则由假设可得 [0=(varphi(xi),xi)=(lambdaxi,xi)=lambda(xi,xi),] 因为 (xi eq 0), 故 ((xi,xi)>0), 从而 (lambda=0).
我们用反证法来证明结论. 若 (varphi eq 0), 则 (varphi) 的 Jordan 标准型中至少有一个 Jordan 块的阶数大于 1, 不妨设为 (J_m(0),\,mgeq 2). 设这个 Jordan 块对应的基向量为 (e_1,e_2,cdots,e_m), 则有 [varphi(e_1)=0,\,\,varphi(e_2)=e_1,\,\,cdots.] 由 ((varphi(e_2),e_2)=0) 可得 ((e_1,e_2)=0). 由此可得 [0=(varphi(e_1+e_2),e_1+e_2)=(e_1,e_1+e_2)=(e_1,e_1)>0,] 引出矛盾. (Box)