[问题2014S12] 解答
先证明一个简单的引理.
引理 设 (B) 为 (n) 阶半正定 Hermite 阵, (alpha) 为 (n) 维复列向量, 若 (overline{alpha}^TBalpha=0), 则 (Balpha=0).
引理的证明 由假设存在 (n) 阶复方阵 (C), 使得 (B=overline{C}^TC), 从而 [0=overline{alpha}^TBalpha=overline{alpha}^Toverline{C}^TCalpha=overline{(Calpha)}^T(Calpha).] 因此 (Calpha=0), 从而 (Balpha=overline{C}^TCalpha=0). (Box)
回到原题的证明.
任取 (AB) 的特征值 (lambda_0inmathbb{C}) 以及对应的特征向量 (0 eq alphainmathbb{C}^n), 即 [ABalpha=lambda_0alpha.] 上式两边同时左乘 (overline{Balpha}^T), 则有 [overline{(Balpha)}^TA(Balpha)=lambda_0overline{alpha}^TBalpha.] 若 (overline{alpha}^TBalpha=0), 则由引理知 (Balpha=0), 于是 (lambda_0alpha=ABalpha=0), 从而 (lambda_0=0), 结论成立. 若 (overline{alpha}^TBalpha eq 0), 则由 (B) 的半正定性知 (overline{alpha}^TBalpha>0), 又由 (A) 的半正定性知 (overline{(Balpha)}^TA(Balpha)geq 0), 从而 [lambda_0=frac{overline{(Balpha)}^TA(Balpha)}{overline{alpha}^TBalpha}geq 0,] 即结论也成立. 进一步, 若 (A,B) 都是正定阵, 由上面第二种情况的讨论马上知道 (lambda_0>0). (Box)