[问题2014S11] 解答
我们先引用一下复旦高代书 P310 的习题 6, 其证明可参考白皮书 P257 的例 8.33：
习题6 设实二次型 (f(x_1,x_2,cdots,x_n)=y_1^2+cdots+y_k^2-y_{k+1}^2-cdots-y_{k+s}^2), 其中 (y_i=a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+cdots+a_{in}x_n\,(i=1,2,cdots,k+s)), 求证: (f) 的正惯性指数 (pleq k), 负惯性指数 (qleq s).
把上述结论转化为实对称阵的语言, 马上可以得到如下引理：
引理 设 (A) 为 (m) 阶实对称阵, (C) 为 (m imes n) 阶实矩阵, 则 (p(A)geq p(C'AC)), (q(A)geq q(C'AC)), 其中 (p(\,cdot\,),q(\,cdot\,)) 分别表示正负惯性指数.
回到本题的证明.
考虑 (2n) 阶实对称阵 (egin{bmatrix} A & 0 \ 0 & B end{bmatrix}) 以及 (2n imes n) 阶实矩阵 (egin{bmatrix} I_n \ I_n end{bmatrix}), 则有 [egin{bmatrix} I_n & I_n end{bmatrix}egin{bmatrix} A & 0 \ 0 & B end{bmatrix}egin{bmatrix} I_n \ I_n end{bmatrix}=A+B.] 由上述引理即得 [p(A)+p(B)=p(egin{bmatrix} A & 0 \ 0 & B end{bmatrix})geq p(A+B);] [q(A)+q(B)=q(egin{bmatrix} A & 0 \ 0 & B end{bmatrix})geq q(A+B),] 故结论得证. (Box)