[问题2014S07] 解答 (本解答由沈启帆同学提供)
由复旦高代教材 P265 引理 7.4.1 知 (F(P_i(lambda)^{e_i})) 的不变因子组为 [1,cdots,1,P_i(lambda)^{e_i}.] 因此分块对角阵 (F=mathrm{diag}{F(P_1(lambda)^{e_1}),F(P_2(lambda)^{e_2}),cdots,F(P_k(lambda)^{e_k})}) 经过 (lambda)-矩阵的初等变换可化为如下对角 (lambda)-矩阵: [mathrm{diag}{1,cdots,1,P_1(lambda)^{e_1};1,cdots,1,P_2(lambda)^{e_2};cdots;1,cdots,1,P_k(lambda)^{e_k}}.] 由复旦高代教材 P271 引理 7.6.2 知 (F) 的初等因子组等于上述对角 (lambda)-矩阵主对角元素的准素因子的集合. 注意到每个 (P_i(lambda)^{e_i}) 都是准素的, 因此 (F) 的初等因子组为 (P_1(lambda)^{e_1},P_2(lambda)^{e_2},cdots,P_k(lambda)^{e_k}), 即 (F) 与 (A) 在数域 (mathbb{K}) 上有相同的初等因子组. 由复旦高代教材 P269 定理 7.5.1 知 (A) 与 (F) 在数域 (mathbb{K}) 上相似. (Box)
第三届全国大学生数学竞赛初赛一道试题的解答
设 (A) 在数域 (mathbb{K}) 上的初等因子组为 [P_1(lambda)^{e_1},P_2(lambda)^{e_2},cdots,P_k(lambda)^{e_k};lambda^{t_1},lambda^{t_2},cdots,lambda^{t_r},] 其中 (P_i(lambda)) 是 (mathbb{K}) 上的不可约多项式且 (P_i(0) eq 0), (e_i>0,\,i=1,2,cdots,k); (t_j>0,\,j=1,2,cdots,r). 注意到 (F(P_i(lambda)^{e_i})) 为相伴于多项式 (P_i(lambda)^{e_i}) 的友阵, 从而它的特征多项式恰为 (P_i(lambda)^{e_i}). 特别地, (detBig(F(P_i(lambda)^{e_i})Big)=(-1)^{n_i}P_i(0)^{e_i} eq 0), 其中 (n_i=deg P_i(lambda)^{e_i}), 即 (F(P_i(lambda)^{e_i})) 是非异阵. 令 [B=mathrm{diag}{F(P_1(lambda)^{e_1}),F(P_2(lambda)^{e_2}),cdots,F(P_k(lambda)^{e_k})},] 则 (B) 是数域 (mathbb{K}) 上的非异阵. 由友阵的定义容易验证 (F(lambda^{t_j})) 是幂零阵. 令 [C=mathrm{diag}{F(lambda^{t_1}),F(lambda^{t_2}),cdots,F(lambda^{t_r})},] 则 (C) 是数域 (mathbb{K}) 上的幂零阵. 由 [问题2014S07] 知 (A) 在数域 (mathbb{K}) 上相似于[left( egin{array}{cc} B & 0 \ 0 & C end{array} ight),] 故结论得证. (Box)