[问题2014S08] 设分块上三角阵 [A=egin{bmatrix} A_1 & B \ 0 & A_2 end{bmatrix},] 其中 (m) 阶方阵 (A_1) 的 Jordan 标准型为 (J_1), (n) 阶方阵 (A_2) 的 Jordan 标准型为 (J_2), 并且 (A_1,A_2) 没有公共的特征值. 证明: 矩阵 (A) 的 Jordan 标准型就是 [egin{bmatrix} J_1 & 0 \ 0 & J_2 end{bmatrix}.]
注 (1) 本题是复旦高代教材第 293 页复习题 15 的推广, 在那道题目中, (A_1,A_2) 的 Jordan 标准型 (J_1,J_2) 都只由一个 Jordan 块构成, 这里我们取消了这个限制.
(2) 由本题还可以得到如下推论: 如果 (A_1,A_2) 都可以对角化, 并且 (A_1,A_2) 没有公共的特征值, 那么矩阵 (A) 也可以对角化. 这个推论是复旦高代教材第 249 页复习题 7 的推广.
(3) 在本题中, (A_1,A_2) 没有公共的特征值是最本质的条件. 有了这个条件, 不管 (B) 是怎样的矩阵, 都对 (A) 的 Jordan 标准型不产生任何影响; 但如果没有这个条件, 一般情况下结论并不成立. 比如我们看如下例子: 设 (A_1=A_2=(1)), (B=(1)), 则 (A) 的 Jordan 标准型不是 (I_2), 而是 (J_2(1)).