[问题2014S06] 解答 (本解答由巴闻嘉同学给出)
设特征多项式 [f(x)=det(xI_V-varphi)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+cdots+a_1x+a_0,] 则由 Cayley-Hamilton 定理可得 [varphi^n+a_{n-1}varphi^{n-1}+cdots+a_1varphi+a_0I_V=0.] 特别地, 上式作用在向量 (alpha) 上可得 [varphi^n(alpha)=-a_{n-1}varphi^{n-1}(alpha)-cdots-a_1varphi(alpha)-a_0(alpha). cdotscdots(1)] 通过数学归纳法不难证明: 对任意的 (kgeq n), (varphi^k(alpha)) 都是 (varphi^{n-1}(alpha)), (cdots), (varphi(alpha)), (alpha) 的线性组合, 从而 [V=L(alpha,varphi(alpha),cdots)=L(alpha,varphi(alpha),cdots,varphi^{n-1}(alpha)).] 因为 (dim V=n), 所以 ({alpha,varphi(alpha),cdots,varphi^{n-1}(alpha))}) 是 (V) 的一组基. 由 (1) 式可知 (varphi) 在基 ({alpha,varphi(alpha),cdots,varphi^{n-1}(alpha))}) 下的表示矩阵为:
[A=egin{bmatrix} 0 & 0 & cdots & 0 & -a_0 \ 1 & 0 & cdots & 0 & -a_1 \ 0 & 1 & cdots & 0 & -a_2 \ vdots & vdots & vdots & vdots & vdots \ 0 & 0 & cdots & 1 & -a_{n-1} end{bmatrix}, cdotscdots(2)]
即为特征多项式 (f(x)) 相伴的友阵 (见复旦高代教材第 250 页复习题 15).
由复旦高代教材第 265 页引理 7.4.1 知 (lambda I-A) 相抵于 (mathrm{diag}{1,cdots,1,f(lambda)}). 由条件不妨设 (f(x)=g(x)h(x)), 其中 ((g(x),h(x))=1). 由复旦高代教材第 261 页习题 7.2.4 或第 271 页引理 7.6.2 的证明知 (mathrm{diag}{1,cdots,1,f(lambda)}) 相抵于 (mathrm{diag}{1,cdots,1,g(lambda),h(lambda)}). 设 (B=mathrm{diag}{C,D}) 为分块对角阵, 其中 (p) 阶矩阵 (C) 是 (g(x)) 的友阵, (q) 阶矩阵 (D) 是 (h(x)) 的友阵. 再次由复旦高代教材第 265 页引理 7.4.1 知 (lambda I-B) 相抵于 (mathrm{diag}{1,cdots,1,g(lambda);1,cdots,1,h(lambda)}). 由复旦高代教材第 265 页引理 7.4.2 知 (lambda I-A) 相抵于 (lambda I-B), 从而由复旦高代教材第 255 页定理 7.1.2 知 (A) 相似于 (B=mathrm{diag}{C,D}).
因为 (A) 是 (varphi) 在某组基下的表示矩阵, 于是存在另一组基 ({eta_1,cdots,eta_p;gamma_1,cdots,gamma_q}), 使得 (varphi) 在这组基下的表示矩阵为 (B=mathrm{diag}{C,D}). 令 (eta=eta_1), (gamma=gamma_1). 由于 (C,D) 也是形如 (2) 式那样的友阵, 不难验证 [L(eta,varphi(eta),cdots)=L(eta_1,cdots,eta_p);\,\,L(gamma,varphi(gamma),cdots)=L(gamma_1,cdots,gamma_q),] 因此 [V=L(eta_1,cdots,eta_p)oplus L(gamma_1,cdots,gamma_q)=L(eta,varphi(eta),cdots)oplus L(gamma,varphi(gamma),cdots). quadBox]