[问题2014S07] 设 (Ain M_n(mathbb{K})) 在数域 (mathbb{K}) 上的初等因子组为 (P_1(lambda)^{e_1},P_2(lambda)^{e_2},cdots,P_k(lambda)^{e_k}), 其中 (P_i(lambda)) 是 (mathbb{K}) 上的不可约多项式, (e_i>0,\,i=1,2,cdots,k). 设 (F(P_i(lambda)^{e_i})) 为相伴于多项式 (P_i(lambda)^{e_i}) 的友阵 (定义见复旦高代教材 250 页复习题 15), 证明: (A) 在 (mathbb{K}) 上相似于分块对角阵 [mathrm{diag}{F(P_1(lambda)^{e_1}),F(P_2(lambda)^{e_2}),cdots,F(P_k(lambda)^{e_k})}.]
试用上述结论证明第三届全国大学生数学竞赛初赛一道试题：
设 (A) 是数域 (mathbb{K}) 上的 (n) 阶方阵. 证明: (A) 相似于[left( egin{array}{cc} B & 0 \ 0 & C end{array} ight),] 其中 (B) 是 (mathbb{K}) 上的可逆阵, (C) 是 (mathbb{K}) 上的幂零矩阵, 即存在 (m) 使得 (C^m=0).