spoj LCMSUM sigma(lcm(i,n));

Problem code: LCMSUM

Given n, calculate the sum LCM(1,n) + LCM(2,n) + .. + LCM(n,n), where LCM(i,n) denotes the Least Common Multiple of the integers i and n.

Input

The first line contains T the number of test cases. Each of the next T lines contain an integer n.

Output

Output T lines, one for each test case, containing the required sum.

Example

Sample Input :
3
1
2
5

Sample Output :
1
4
55

Constraints

1 <= T <= 300000
1 <= n <= 1000000

题意：sigma(lcm(i,n)) ; 1<=i<=n

思路：题意倒是很简单，有类似的题目sigma(gcd(i,n)) ;1<=i<=n;

　　一看就是果然是同类型的。

gcd(i,n)的题目 http://www.cnblogs.com/tom987690183/p/3247439.html

这个是求lcm（）最小公倍数.

同样的思路，我们枚举gcd() = d 则在[ 1 , n ]中与n最大公约数为d的值有euler(n/d)个.

这些数的和为euler(n/d)*n/2; 我们知道lcm = x*n/(gcd(x,n)) = > x*n/d ;

因为与n gcd（） = d的数字为x1,x2,x3....

根据lcm = x*n/(gcd(x,n)) 可以得到 (n/d)*(x1+x2+x3...) => [euler(n/d)*n/2]*(n*d);

这里需要注意的是当gcd(i,n) = n的时候，用euler(n)*n/2算的时候是不对的，就特判吧。

这样的思路，我们就可以试一下打欧拉表opl[ ],需要时间o(N);

然后对于n，要用sqrt(n)的时间。

T*sqrt(n)+o(N) = 3^8+10^6.果断超时。以为能ac，吼吼。

 1 #include<iostream>
 2 #include<stdio.h>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cstdlib>
 5 using namespace std;
 6 typedef long long LL;
 7 
 8 const int maxn = 1e6+3;
 9 int opl[maxn];
10 void init()
11 {
12     for(int i=1;i<maxn;i++) opl[i] = i;
13     for(int i=2;i<maxn;i++)
14     {
15         if(opl[i]==i) opl[i] = i-1;
16         else continue;
17         for(int j=i+i;j<maxn;j=j+i)
18             opl[j] = opl[j]/i*(i-1);
19     }
20 }
21 int main()
22 {
23     int T;
24     LL n;
25     init();
26     scanf("%d",&T);
27     while(T--)
28     {
29         scanf("%lld",&n);
30         LL sum = 0;
31         for(LL i=1;i*i<=n;i++)
32         {
33             if(n%i==0)
34             {
35                 if(i!=n)
36                 sum = sum + (n/i)*(opl[n/i]*n/2);
37                 LL tmp = n/i;
38                 if(tmp!=i && tmp!=n)
39                     sum = sum + i*(opl[i]*n/2);
40             }
41         }
42         printf("%lld
",sum+n);
43     }
44     return 0;
45 }

View Code

这样的话，是不行了。

原始相当于

也就能转化为（easy)

这样的话，我们就能单独的求出euler(a)*a/2;然后用它来筛选g[n]的值。

（x|n的意思代表 n是x的倍数）

我们想到在第一种方法里，我们用sqrt（n）来求它的因子的方法。

同理，逆向一下就好。

这样我们只需要o(N) 的时间对g[]进行筛选。总的预处理时间

3*o(N) = > 3*10^6;

完毕。

需要注意的是，我们没有把gcd() = n的情况包含进去，所以最后要+n。

代码：

 1 #include<iostream>
 2 #include<stdio.h>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cstdlib>
 5 using namespace std;
 6 typedef long long LL;
 7 
 8 const int maxn = 1e6+3;
 9 LL opl[maxn];
10 LL g[maxn];
11 void init()
12 {
13     for(int i=1;i<maxn;i++) opl[i] = i;
14     //这种方法筛选素数，不用和以前一样要先刷素数，还开num[];
15     for(int i=2;i<maxn;i++) 
16     {
17         if(opl[i]==i)
18             opl[i] = i-1;
19         else continue;
20         for(int j=i+i;j<maxn;j=j+i)
21             opl[j] = opl[j]/i*(i-1);
22     }
23     for(int i=2;i<maxn;i++){
24         opl[i] = opl[i]*i/2;
25         g[i] = opl[i];
26     }
27     for(long long i=2;i<=1000;i++) //这里的i 不能用int，肯定会超int的
28     {
29         for(long long j=i*i,k=i;j<maxn;j=j+i,k++)
30         if(i!=k) //不重复
31             g[j] = g[j] + opl[i]+opl[k];
32         else g[j] = g[j] + opl[i];
33     }
34 }
35 int main()
36 {
37     init();
38     int T;
39     LL n;
40     scanf("%d",&T);
41     while(T--)
42     {
43         scanf("%lld",&n);
44         printf("%lld
",g[n]*n+n);
45     }
46     return 0;
47 }