对于Env来说，属于MP，但是不是参数已知的MDP
比如元组中a、s、P的关系不确定 or 未知
Prediction -> Control
Evaluation -> Optimization
蒙特卡洛法 Monte-Carlo learning
基于大数定律：
(V(s) -> V_pi(s)) as (N(s)->infty)
均值累计计算：
[
egin{aligned}
mu_{k} &=frac{1}{k} sum_{j=1}^{k} x_{j} \
&=frac{1}{k}left(x_{k}+sum_{j=1}^{k-1} x_{j}
ight) \
&=frac{1}{k}left(x_{k}+(k-1) mu_{k-1}
ight) \
&=mu_{k-1}+frac{1}{k}left(x_{k}-mu_{k-1}
ight)
end{aligned}
]
类似于PID的P 增益
改写计算方式，用(alpha)代替(frac{1}{N(s_t)})
(V(S_t) leftarrow V(S_t)+alpha(G_t - V(S_t)))
可以看到这里的(alpha)和机器学习里面用的学习率是一个符号
差分法Temporal-Difference learning
- 直接从episodes 的经验学习
- model-free：不知道MDP的Transition转移和Reward回报
- Bootstrapping自举学习，从部分例子学习
Goal：学习(v_{pi}) 的值，under policy (pi)
TD(0）方法：
[
Vleft(S_{t}
ight) leftarrow Vleft(S_{t}
ight)+alphaleft(R_{t+1}+gamma Vleft(S_{t+1}
ight)-Vleft(S_{t}
ight)
ight)
]
TD target 是
与MC方法区别
| 项目 | MC | TD |
|---|---|---|
| 不完整片段学习能力 | 无 | 有 |
| 在线学习(every step)能力 | update until the end | 有 |
| loop环境学习能力 | 无，必须terminating | 有 |
| 收敛性好 | 是 | |
| 初值敏感 | 否 | 是 |
| 偏差bias | zero | some |
| 方差variance | high | low |
对于最优估计
- MC方法：最小化均方根MSE
[
sum_{k=1}^{K} sum_{t=1}^{T_{k}}left(G_{t}^{k}-Vleft(s_{t}^{k} ight) ight)^{2}
] - TD（0）方法：最大似然估计 max likelihood Markov model
Solution to the MDP (langlemathcal{S}, mathcal{A}, hat{mathcal{P}}, hat{mathcal{R}}, gamma angle) that best fits the data
[
hat{mathcal{P}}_{s, s^{prime}}^{a} =frac{1}{N(s, a)} sum_{k=1}^{K} sum_{t=1}^{T_{k}} 1left(s_{t}^{k}, a_{t}^{k}, s_{t+1}^{k}=s, a, s^{prime} ight) ]
[
hat{mathcal{R}}_{s}^{a} =frac{1}{N(s, a)} sum_{k=1}^{K} sum_{t=1}^{T_{k}} 1left(s_{t}^{k}, a_{t}^{k}=s, a ight) r_{t}^{k}
]
总结：DP、MC、TD
- Bootstrapping自举：利用自己估计值update
- Sampling采样 ：更新样本期望
| 项目 | 动态规划DP | 蒙特卡洛MC | 差分TD |
|---|---|---|---|
| 自举Bootstrapping | 1 | 0 | 1 |
| 采样Sampling | 0 | 1 | 1 |
TD用了Markov特性，因此在MP过程高效
MC相反，统计规律，非MP过程更高效
TD((lambda))法
扩展TD(0)，视野扩展到N个step，N=全过程时，变为MC
TD（N）推导
对于某个问题来说，没有那个N值是最优的
因此，用几何加权的方法来对视野做平均
Forward
(lambda)：对视野的平均
for iteration： t -> t+1
update value function
引入权重概念，前面的重要，指数衰减
Backward
Credit assignment：
引入 Eligibility Traces：关于状态s的权重
当s重复出现，E值升高，不出现，指数下降
(E_{0}(s)=0)
(E_{t}(s)=gamma lambda E_{t-1}(s)+mathbf{1}left(S_{t}=s
ight))
Backward步骤：
- 对每个状态s 创建 迹值
- 对每个状态s 更新 V(s)
- 与 TD-error((delta_t)) 和 Eligibility trace (E_t(s)) 成比例
[
egin{aligned}
delta_{t} &=R_{t+1}+gamma Vleft(S_{t+1}
ight)-Vleft(S_{t}
ight) \
V(s) & leftarrow V(s)+alpha delta_{t} E_{t}(s)
end{aligned}
]
[
sum_{t=1}^{T} alpha delta_{t} E_{t}(s)=sum_{t=1}^{T} alphaleft(G_{t}^{lambda}-Vleft(S_{t}
ight)
ight) 1left(S_{t}=s
ight)
]
对于(lambda in [0,1])，满足TD error = (lambda-error)
对于online 的updates来说，TD((lambda))前后向视图稍有不同，引入Exact online TD((lambda))
总结
TD(0) 向后看一步
TD((lambda)) 视野距离按(lambda)指数衰减，叠加
TD(1) 视野不按指数衰减
对于离线更新来说：
TD(0) = TD((lambda)) = TD(1)
对于在线更新，引入Exact online TD((lambda))