前置技能

群

群是二元组((G,*)),满足

(*:(G,G) ightarrow G)
(exists ein G, forall xin G, x*e=x=e*x, mathtt{(单位元)})
(forall xin G, exists yin G, x*y=e, mathtt{记}y=x^{-1}, mathtt{(存在逆元)})
(forall x,y,zin G, (x*y)*z=x*(y*z), mathtt{(结合律)})

记(a*b)为(ab).

置换

一个作用在集合(G)上的置换群((S_G,circ))是(s: G ightarrow G)((s)是一一对应,称为作用在(G)上的置换)的集合,其中(circ)是复合操作,即(x,yin S_G,tin G, (xcirc y)(t)=y(x(t))).

循环

循环是一类特殊的置换, 表示为(f=(a_1a_2cdots a_n)),表示(f(x)=egin{cases}a_{(i+1)mod n} &,mathtt{if}~x=a_i\x &,mathtt{whatever~else}end{cases}),记(f)为长度为(n)的置换,(l(f)=n)

显然一个置换可以分解为一堆不相交循环对(circ)的乘积,只需要考察集合里的元素不断作用置换(p)回到原点时经过的元素.这个过程称为置换的分解,分解后的集合记为(alpha(p))(我也不知道可以用什么符号干脆就用个(alpha)好孩子们别学我= =).

记(eta_k(p)=sumlimits_{iin alpha(p)}[l(i)=k])(即p的分解中长度为(k)的循环的个数).

Pólya定理

对于set((X)),group((Gsubseteq S_X,circ)),用(m)种颜色给(X)染色,求方案数.

等价性: 若两个染色(x,y)可以通过(G)中的一个置换的作用变为相等,这两个置换就是等价的.

相信学习Pólya的大家都见过这个式子:

[mathtt{ans}=frac{1}{mid Gmid}sum_{gin G}m^{mid alpha(g)mid} ]

但是这个式子其实是一个简化版的Pólya定理= =.它太弱了,甚至不能处理颜色个数有不同的情况..

(待补.)