衍生品的定价要从金融产品的定价说起，最早做金融市场定价的一拨人是搞经济学出身的，经济学讲究供给需求的均衡，用市场出清达到的均衡价格给产品定价。举个栗子，学过微经的人都知道，消费者的效用最大化决定了需求曲线，生产者的利润最大化决定了供给曲线，两条线一交叉，价格就出来了。再举个复杂一点的栗子，宏观里面的IS-LM模型讲的是钱的价格——利率，产品市场均衡得到IS曲线，货币市场均衡出来LM曲线，两个线一叉，利率就出来了。
经济学家开始搞金融产品定价的时候，也想用这招，可是问题就来了：金融产品和桔子苹果不一样，水果市场上买桔子和卖桔子的是两拨人，金融市场上买股票和卖股票的是一拨人，供给方也是需求方，这下子效用最大啊、利润最大啊都搞不好了，传统的供给需求曲线就画不出来了。经济学家就开始想：生产者和消费者独立的均衡搞不好了，金融市场有没有别的均衡呢？答案是有的——想买的等于想卖的，是金融市场上最基础的均衡。从这个思路出发，就发展出了Arrow-Debreu范式，他们给每个人加上一个当期和未来消费的效用函数，然后对效用函数做优化，得到需求量（如果需求为负就是供给量），用很复杂的矩阵代数来给金融产品定价。
经济学家就是这么一帮玩弄自己娱乐大众的角色，他们的分析依赖于这个叫做“效用函数”的东西，经济学家们不仅假设效用函数的存在，而且对其单调性、连续性、凸性都做了假设，得出的定价结论只适用于“真空中的球形鸡”，他们很高兴，因为“解是存在的”。
市场上的投资人对这个答案很不满意，他们总不能在下单前先写出来自己的效用函数吧？！于是就发展出了一套不依赖于效用函数（严格的说是“几乎”不依赖）新的定价理论，人称无套利定价。无套利定价的想法就很简答了，比如咱要给沙拉定价，我们只要把沙拉所含的成分搞清楚就行了，苹果、番茄、菜叶儿各占多少，一加起来（可能加点儿服务费）就是沙拉的价钱。这时候您可能就问了：那苹果、番茄、菜叶儿值多少钱呢？对不起，您说的都是“基础资产”，无套利方法只能给衍生品定价。所以说金融衍生品的定价方法就是把衍生品想法儿“还原”成基础资产，然后再把各个成分给加回来。无套利定价这套方法在数学里，就是商品空间里的泰勒展开（题外话，我觉得泰勒展开是世界上第二伟大的公式，第一伟大的一会儿还要提到，泰勒公式、傅里叶变换、伊藤引理本质上都是一个东西，泰勒展开的思想改变了我们的世界，么么哒），把衍生品“投影”到空间的一组基（基础资产）上，然后根据投影的系数和基础资产的价格做加权叠加。
金融市场上，最常见的基础资产有两种：股票和现金（请注意，债券不是基础资产，债券是最简洁、最完美的金融衍生品）。至此，学者们想方设法把衍生品给拆分成基础资产的组合，1973年的时候，Merton发现可以把股票欧式期权拆成股票和现金的组合，具体而言就是：call=Delta imes S-Pi ，即欧式看涨期权等于Delta 的股票和-Pi 的现金。现金是一种特殊的资产，可以“钱生钱”，也就是满足这个微分方程：dPi =rPi dt，从这个微分方程出发，利用大帅逼伊藤清发明的Ito Lemma，就可以推导出期权价格所满足的微分方程，人称Black-Scholes微分方程。
走到这一步，每个想给金融衍生品定价的人，只要想办法把衍生品和其他基础资产组合成现金，再利用现金“钱生钱”的特性，就可以得到衍生品价格所服从的微分方程了。一时间，形形色色的微分方程充斥着衍生品的研究和实务领域，其中多数都很蛋疼（老天开眼，B-S微分方程的解罕见的漂亮，而债券价格满足的微分方程恶心死你）。大量在物理领域解惯了微分方程的呆逼们就开始涌入衍生品行业，成为了第一代Quant，物理研究中有很多微分方程要解（题外话，牛顿第二定律F=ma是一个简单的微分方程，而薛定谔方程就是量子算符表示形式下的牛顿第二定律，这是我觉得第一伟大的公式，阿西吧），Feynman就发明了一套很牛逼的解特定形式方程的方法，方程的解是用期望的形式表达出来的，这样就把微分方程和随机过程连接到了一起。后来人更进一步，在完全市场的假设下搞了等价鞅测度，使得“相对价格”可以用一个很简单的期望来表达，然后再简化一步，就是：f= ilde{E} left( e^{-int_{}^{}rdt } f_{T}
ight) ，即风险中性概率下payoff折现值的期望。这个公式作用大的不得了，之前解微分方程很蛋疼，现在只要算payoff、再做折现、最后求个期望就可以给衍生品定价了，基本可以在Excel里完成，自此金融衍生品定价不再遥不可及，衍生品领域就爆发了。
最后来说说风险中性测度这个东西，我们人是有风险偏好的，多数人都是风险嫌恶的（题外话，风险偏好是有效用函数的凸性决定的，无套利理论的发展没有依赖效用函数，自然是不干风险什么事儿的，不过函数取期望的Jensen不等式是我觉得第三伟大的公式，诸多知名的不等式都是Jensen的推广）。举个栗子，给你两个方案：A、给你1块钱；B、丢个硬币，正面给你2块，反面不给你钱。你怎么选？反正我是选马上拿钱走人。我们可以看到，这里是有风险偏好的，A方案是基础资产“现金”，B方案是基础资产“硬币收益”（可以类比于股票），两个基础资产之间是萝卜青菜各有所爱，风险偏好不可强求。可是衍生品不一样，还是两个选择给你挑：第一、给你A+B；第二、丢个硬币，正面给你3块，反面给你1块。你怎么选？这两个选择对于每个人看起来都是一样一样一样的，由于衍生品不具有作为商品空间基的独立性，市场参与者对其也就没有特殊的风险态度，人称“风险中性”。