| 试题编号： | 201609-4 |
| 试题名称： | 交通规划 |
| 时间限制： | 1.0s |
| 内存限制： | 256.0MB |
| 问题描述： |
问题描述
G国国王来中国参观后，被中国的高速铁路深深的震撼，决定为自己的国家也建设一个高速铁路系统。
建设高速铁路投入非常大，为了节约建设成本，G国国王决定不新建铁路，而是将已有的铁路改造成高速铁路。现在，请你为G国国王提供一个方案，将现有的一部分铁路改造成高速铁路，使得任何两个城市间都可以通过高速铁路到达，而且从所有城市乘坐高速铁路到首都的最短路程和原来一样长。请你告诉G国国王在这些条件下最少要改造多长的铁路。 输入格式
输入的第一行包含两个整数n, m，分别表示G国城市的数量和城市间铁路的数量。所有的城市由1到n编号，首都为1号。
接下来m行，每行三个整数a, b, c，表示城市a和城市b之间有一条长度为c的双向铁路。这条铁路不会经过a和b以外的城市。 输出格式
输出一行，表示在满足条件的情况下最少要改造的铁路长度。
样例输入
4 5
1 2 4 1 3 5 2 3 2 2 4 3 3 4 2 样例输出
11
评测用例规模与约定
对于20%的评测用例，1 ≤ n ≤ 10，1 ≤ m ≤ 50；
对于50%的评测用例，1 ≤ n ≤ 100，1 ≤ m ≤ 5000； 对于80%的评测用例，1 ≤ n ≤ 1000，1 ≤ m ≤ 50000； 对于100%的评测用例，1 ≤ n ≤ 10000，1 ≤ m ≤ 100000，1 ≤ a, b ≤ n，1 ≤ c ≤ 1000。输入保证每个城市都可以通过铁路达到首都。 |
问题链接：CCF201609试题。
问题描述：参见上文。
问题分析：这是一个最优化的问题，也是一个单源最短路径问题，所有要用Dijkstra算法。题目要求在“所有城市乘坐高速铁路到首都的最短路程和原来一样长”的前提下，计算出“最少要改造多少铁路”？
程序说明：图的表示主要有三种形式，一是邻接表，二是邻接矩阵，三是边列表。邻接矩阵对于结点多和边少的情况都不理想。程序中用邻接表存储图，即g[]，是一种动态的存储。数组dist[]中存储单源（首都，结点1）到各个结点（城市）的最短距离。优先队列q按照边的权值从小到大排队，便于计算最短路径。
对于n个结点的城市，要连通起来，最少有n-1条道路就够了。
数组cost[i]用于存储要到达结点i，并且满足单源最短路径的条件，需要改造的铁路的长度。这是使用Dijkstra算法解决本问题需要增加的。程序中的72行就是增加的逻辑。
另外一个问题，从单源出发到达某个结点，最短路径有两条以上，并且路径长度相等时，需要选一个代价小的。例如，测试实例中，结点1到4有两条路径，1-2-4和1-3-4，其距离都是7，边1-2和1-3是必选的，边2-4和3-4是可选的，由于边2-4的权为3，而边3-4的权为2，所以为了到达结点4选择小的权2。程序中，这个逻辑体现在75行。
提交后得100分的C++语言程序如下：
/* CCF201609-4 交通规划 */
#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
//#define DEBUG
const int INT_MAX2 = ((unsigned int)(-1) >> 1);
const int MAXN = 10000;
// 边
struct _edge {
int v, cost;
_edge(int v2, int c){v=v2; cost=c;}
};
// 结点
struct _node {
int u, cost;
_node(){}
_node(int u2, int c){u=u2; cost=c;}
bool operator<(const _node n) const {
return cost > n.cost;
}
};
vector<_edge> g[MAXN+1];
priority_queue<_node> q;
int dist[MAXN+1];
int cost[MAXN+1];
bool visited[MAXN+1];
void dijkstra_add(int start, int n)
{
for(int i=0; i<=n; i++) {
dist[i] = INT_MAX2;
cost[i] = INT_MAX2;
visited[i] = false;
}
dist[start] = 0;
cost[start] = 0;
q.push(_node(start, 0));
_node f;
while(!q.empty()) {
f = q.top();
q.pop();
int u = f.u;
if(!visited[u]) {
visited[u] = true;
int len = g[u].size();
for(int i=0; i<len; i++) {
int v2 = g[u][i].v;
if(visited[v2])
continue;
int tempcost = g[u][i].cost;
int nextdist = dist[u] + tempcost;
if(dist[v2] > nextdist) {
dist[v2] = nextdist;
cost[v2] = tempcost; // add code
q.push(_node(v2, dist[v2]));
} else if(dist[v2] == nextdist)
cost[v2] = min(cost[v2], tempcost); // add code
}
}
}
}
int main()
{
int n, m, src, dest, cost2;
// 输入数据，构建图
cin >> n >> m;
for(int i=1; i<=m; i++) {
cin >> src >> dest >> cost2;
g[src].push_back(_edge(dest, cost2));
g[dest].push_back(_edge(src, cost2));
}
// 改进的Dijkstra算法
dijkstra_add(1, n);
#ifdef DEBUG
cout << "dist : ";
for(int i=1; i<=n; i++)
cout << dist[i] << " ";
cout << endl;
cout << "cost : ";
for(int i=1; i<=n; i++)
cout << cost[i] << " ";
cout << endl;
#endif
// 统计边的权重
int ans=0;
for(int i=2; i<=n; i++)
ans += cost[i];
cout << ans << endl;
return 0;
}