HDU 6053(莫比乌斯反演)

题意略。

思路：首先想到暴力去扫，这样的复杂度是n * min(ai)，对于gcd = p，对答案的贡献应该是 (a1 / p) * (a2 / p) * .... * (an / p)，得出这个贡献未必要暴力地去扫，

我们可以分桶后，再求后缀和，再作差来得到个数后，进行快速幂。比如说：我们想知道gcd = p时对答案的贡献，那么add = (c1 ^ d1) * (c2 ^ d2) *.....，其中

c1是ai / p之后得出的数，d1表示(a1 / p) * (a2 / p) * .... * (an / p)中，有多少ai / p == c1，这样我们求出所有的ci所用时间是 log(n) ，对于每一个ci，要求出

ci ^ di所用时间也是log的。把每一个 <= min(ai)统计一次，所用时间是n * logn * logn。

注意，我们在枚举p的时候，只枚举由互不相同的因子组成的p，当p内含有相同因子时，它是前种情况的子集，这里肯定有重复，可以利用莫比乌斯反演来

去重。

详见代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 100005
//#define LOCAL
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL mod = 1e9 + 7;

bool check[maxn];
int prime[maxn],mu[maxn];
LL sum[maxn];

void mobius(){
    memset(check,false,sizeof(check));
    mu[1] = 1;
    int tot = 0;
    for(int i = 2;i < maxn;++i){
        if(!check[i]){
            prime[tot++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j = 0;j < tot;++j){
            if(i * prime[j] > maxn) break;
            check[i * prime[j]] = true;
            if(i % prime[j] == 0){
                mu[i * prime[j]] = 0;
                break;
            }
            else mu[i * prime[j]] = -mu[i];
        }
    }
}
LL quick_pow(LL a,LL n){
    LL ret = 1;
    while(n > 0){
        if(n & 1){
            ret *= a;
            ret %= mod;
        }
        n = n / 2;
        a = a * a % mod;
    }
    return ret;
}

int main(){
    #ifdef LOCAL
    freopen("kkk.txt","r",stdin);
    freopen("kkkout.txt","w",stdout);
    #endif
    int T,cas = 1;
    mobius();
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        int minn = maxn,maxx = -maxn;
        int n,temp;
        scanf("%d",&n);
        memset(sum,0,sizeof(sum));
        for(int i = 0;i < n;++i){
            scanf("%d",&temp);
            ++sum[temp];
            minn = min(minn,temp);
            maxx = max(maxx,temp);
        }
        for(int i = maxn - 2;i >= 0;--i)
            sum[i] += sum[i + 1];
        LL ans = 0;
        for(int i = 2;i <= minn;++i){
            if(mu[i] == 0) continue;
            LL temp = -mu[i];
            for(int j = i;j <= maxx;j += i){
                temp = (temp * quick_pow(j / i,sum[j] - sum[min(maxx + 1,j + i)]) % mod);
            }
            ans += temp;
            ans = (ans % mod + mod) % mod;
        }
        printf("Case #%d: %lld
",cas++,ans);
    }
    return 0;
}

/*
1
4
4 6 9 7
*/