20111010 20:14 HDU 4021 (15数码)

题意：给出一个board，上面有24个位置，其中23个位置上放置了标有数字1~23的方块，一个为空位（用数字0表示），现在可以把空位与它旁边的方块交换，给出board的起始状态，问是否可以达到指定的状态。

思路：看起来很像著名的“八数码”问题，首先，针对八个特殊位置（死角），如果这里有空位就把它和相邻的位置交换，这样之后如果两个状态的对应死角上的数字不同，那么显然是不能达到指定状态的，因为无法把死角处的数字换出去。

搞定了死角后就只剩下4×4的board了，这就变成了八数码问题的拓展——15数码。首先想想八数码是如何判断有解的：首先把所有数字（不包括空位的0）写成一行，就得到了一个1~8的排列，考虑空位的交换情况：1.左右交换，2.上下交换。对于左右交换而言，是不会改变写出的排列的逆序数的；而对上下交换，相当于在排列中向前或向后跳了两个位置，那么要么两个数都比它大或小，这样逆序数加2或减2，要么两个数一个比它大一个比它小，这样逆序数不变，综上，对于八数码问题，操作不会改变逆序数的奇偶性，所以只有初始状态和指定状态的逆序数奇偶性相同就有解。

弄清楚了八数码，扩展起来就容易了，现在我们将其扩展到N维（即N*N的board，N*N-1数码问题）。

首先无论N的奇偶，左右交换不改变逆序数，N为奇数时：上下交换逆序数增加N-1或减少N-1或不变，因为N为奇数，所以逆序数奇偶性不变；而N为偶数时：上下交换一次奇偶性改变一次。

结论：N为奇数时，初始状态与指定状态逆序数奇偶性相同即有解；N为偶数时，先计算出从初始状态到指定状态，空位要移动的行数m，如果初始状态的逆序数加上m与指定状态的逆序数奇偶性相同，则有解。

好了，现在这道题就简单了，计算逆序数和空格要移动的行数即可。

View Code

  1 #include <stdio.h>
  2 
  3 #include <string.h>
  4 
  5 #include <algorithm>
  6 
  7 #define abs(x) ((x)>0?(x):-(x))
  8 
  9  
 10 
 11 using namespace std;
 12 
 13  
 14 
 15 const int pos[]={0,1,2,7,16,21,22,23};
 16 
 17 int f[24];
 18 
 19  
 20 
 21 int a[24],b[24],c[16],d[16];
 22 
 23  
 24 
 25 void init(void)
 26 
 27 {
 28 
 29     f[0]=f[2]=3;
 30 
 31     f[1]=f[7]=6;
 32 
 33     f[16]=f[22]=17;
 34 
 35     f[21]=f[23]=20;
 36 
 37 }
 38 
 39 int main(void)
 40 
 41 {
 42 
 43     init();
 44 
 45     int t;
 46 
 47     scanf("%d",&t);
 48 
 49     while(t--)
 50 
 51     {
 52 
 53         for(int i=0;i<24;i++)    scanf("%d",a+i);
 54 
 55         for(int i=0;i<24;i++)    scanf("%d",b+i);
 56 
 57         for(int i=0;i<8;i++)
 58 
 59         {
 60 
 61             if(a[pos[i]]==0)    swap(a[pos[i]],a[f[pos[i]]]);
 62 
 63             if(b[pos[i]]==0)    swap(b[pos[i]],b[f[pos[i]]]);
 64 
 65         }
 66 
 67         bool flag=0;
 68 
 69         for(int i=0;i<8;i++)
 70 
 71         {
 72 
 73             if(a[pos[i]]!=b[pos[i]])
 74 
 75             {
 76 
 77                 flag=1;
 78 
 79                 break;
 80 
 81             }
 82 
 83         }
 84 
 85         if(flag)
 86 
 87         {
 88 
 89             puts("Y");
 90 
 91             continue;
 92 
 93         }
 94 
 95         int num1=0,num2=0;
 96 
 97         for(int i=0,j;i<24;i++)
 98 
 99         {
100 
101             bool f1=0;
102 
103             for(j=0;j<8;j++) if(i==pos[j])   f1=1;
104 
105             if(f1)  continue;
106 
107             c[num1++]=a[i];
108 
109             d[num2++]=b[i];
110 
111         }
112 
113         int pos1=-1,pos2=-1;
114 
115         int cnt1=0,cnt2=0;
116 
117         for(int i=1;i<16;i++)
118 
119         {
120 
121             if(c[i]==0) pos1=i;
122 
123             else
124 
125             {
126 
127                 for(int j=0;j<i;j++)
128 
129                     if(c[i]<c[j])
130 
131                         cnt1++;
132 
133             }
134 
135         }
136 
137         for(int i=1;i<16;i++)
138 
139         {
140 
141             if(d[i]==0) pos2=i;
142 
143             else
144 
145             {
146 
147                 for(int j=0;j<i;j++)
148 
149                     if(d[i]<d[j])
150 
151                         cnt2++;
152 
153             }
154 
155         }
156 
157         int diff=abs(pos1/4-pos2/4);
158 
159         if(abs(diff+cnt1-cnt2)%2==0)    puts("N");
160 
161         else    puts("Y");
162 
163     }
164 
165     return 0;
166 
167 }