邮票面值设计

Stamps 邮票问题

题目描述：

已知一个 N 枚邮票的面值集合（如，{1 分，3 分}）和一个上限 K —— 表示信封上能够贴 K 张邮票。计算从 1 到 M 的最大连续可贴出的邮资。

例如，假设有 1 分和 3 分的邮票；你最多可以贴 5 张邮票。很容易贴出 1 到 5 分的邮资（用 1 分邮票贴就行了），接下来的邮资也不难：
6 = 3 + 3
7 = 3 + 3 + 1
8 = 3 + 3 + 1 + 1
9 = 3 + 3 + 3
10 = 3 + 3 + 3 + 1
11 = 3 + 3 + 3 + 1 + 1
12 = 3 + 3 + 3 + 3
13 = 3 + 3 + 3 + 3 + 1

然而，使用 5 枚 1 分或者 3 分的邮票根本不可能贴出 14 分的邮资。因此，对于这两种邮票的集合和上限 K=5，答案是 M=13。

输入：

第 1 行：两个整数，K 和 N。K（1 <= K <= 200）是可用的邮票总数。N（1 <= N <= 50）是邮票面值的数量。
第 2 行至末尾： N 个整数，每行 15 个，列出所有的 N 个邮票的面值，面值不超过 10000。

输出：

一个整数，从 1 分开始连续的可用集合中不多于 K 张邮票贴出的邮资数。

样例输入：

5 2

1 3

样例输出：

分析：

1.数据分析：每个信封最多贴K(K<=200)张邮票，每张邮票的面值不超过10000，能贴出最大的邮资不超过2000000，可用一个数组来表示能够表示贴出每种邮资。

2.算法分析：

(1)搜索：每种邮票最多贴200张，总共50种，朴素的深搜规模将达到50^200。

(2)动态规划：

<1>阶段：能够构成每个面值为阶段。比如能构成的面值为1到V，那么总共为V个阶段。

<2>状态：dp[i]表示构成面值i所需要的最少邮票数.

<3>决策：对于样例数据1和3两种面值的邮票：

构成邮资0：所需要邮票张数为0张，dp[0]=0;

构成邮资1：只能用1分的邮票，所需要邮票张数1张，dp[1]=1;

构成邮资2：只能用1分的邮票，所需要邮票张数2张，dp[2]=1;

构成邮资3：

*1.若选择使用一张1分的邮票，dp[3]=dp[2]+1=3………dp[3-1]+1

*2.若选择使用一张3分的邮票，dp[3]=dp[0]+1=1………dp[3-3]+1

dp[3]=min{dp[2]+1,dp[0]+1}=1;

构成邮资4：

*1.若选择使用一张1分的邮票，dp[4]=dp[3]+1=2………dp[3-1]+1

*2.若选择使用一张3分的邮票，dp[4]=dp[1]+1=1………dp[3-3]+1

dp[4]=min{dp[3]+1,dp[1]+1}=2;

<4>状态转移方程：dp[i]=min{dp[i-a[j]]+1} i>=a[j] 1<=j<=n f[i]<=k;

样例代码：

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
int dp[2000001];
int main()
{
    int a[51];
    int i,j,k,n,m;
    while(scanf("%d%d",&k,&n)!=EOF)
    {
        for(i=0;i<n;i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        sort(a,a+n);
        dp[0]=0;
        i=0;
        while(dp[i]<=k)
        {
            i++;dp[i]=999999;
            for(j=0;j<n&&a[j]<=i;j++)
                if(dp[i-a[j]]+1<dp[i])
                    dp[i]=dp[i-a[j]]+1;
        }
        printf("%d
",i-1);
    }
    return 0;
}

实质就是背包问题：当前邮资i可以看作背包容量，每种邮票可以看作是一个物品，邮票的面值就是物品的体积，k可以看作是对物品数量的一个限制。

Stamps 邮票面值设计问题

题目描述：

给定一个信封，最多只允许粘贴N张邮票，计算在给定K（N+K≤40）种邮票的情况下（假定所有的邮票数量都足够），如何设计邮票的面值，能得到最大值MAX，使在1～MAX之间的每一个邮资值都能得到。

例如，N=3，K=2，如果面值分别为1分、4分，则在1分～6分之间的每一个邮资值都能得到（当然还有8分、9分和12分）；如果面值分别为1分、3分，则在1分～7分之间的每一个邮资值都能得到。可以验证当N=3，K=2时，7分就是可以得到的连续的邮资最大值，所以MAX=7，面值分别为1分、3分。

样例输入：

3 2

样例输出：

1 3

MAX=7

这道题显然要先搜索出满足条件的面值组合，比如n=3,k=3时

在搜索时加入适当优化：

以n=3,k=3为例:第一个面值肯定为1，但是第二个面值只能是2，3，4，因为面值为1的最多贴3张，贴满的最大值为3,要保证数字连续,那么第二个数字最大只能是4。所以我们可以得到规律，如果邮票张数为n，种类为k,那么从小到大的顺序，邮票a[i]的下一种面值的取值范围必然是a[i]+1到a[i]*n+1如图：

算法：深度优先搜索+动态规划

如果已知邮票的不同面值，可以用动态规划求出这些不同面值的邮票能组合出的最大连续数：

设dp[i]表示已知面值的邮票组合出面值为i所需要的最小邮票数，我们把已知的q种不同的邮票面值存在num中，则有状态转移方程：

dp[i]=min{dp[i-num[j]]+1}

最后随着深度搜索不断枚举可能的面值组合，然后不断更新最大值即可

代码：

#include <stdio.h>
int dp[4000001],a[40]={1},max_a[40];
int max,n,k;
void youpiao()     //验证当前邮票组合的最大连续数
{
    int i=0,j;
    dp[0]=0;
    while(dp[i]<=n)
    {
        i++;
        dp[i]=99999;
        for(j=0;j<k&&i>=a[j];j++)
            if(dp[i-a[j]]+1<dp[i])
                dp[i]=dp[i-a[j]]+1;
    }
    if(i-1>max)    //一旦当前最大数大于了max，就更新max，并把当前的组合方式存在max_a数组中.
    {
        max=i-1;
        for(j=0;j<k;j++)
            max_a[j]=a[j];
    }
}
void dfs(int step)   //枚举所有可能的邮票种类组合
{
    if(step==k)
    {
        youpiao();
        return;
    }
    int i;
    for(i=a[step-1]+1;i<=a[step-1]*n+1;i++)
    {
        a[step]=i;
        dfs(step+1);
    }
}
 
int main()
{
    int i;
    while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF)
    {
        max=0;
        dfs(0);
        for(i=0;i<k;i++)
        {
            if(!i)
                printf("%d",max_a[i]);
            else
            printf(" %d",max_a[i]);
        }
        printf("
MAX=%d
",max);
    }
    return 0;
}

原文http://blog.csdn.net/y1196645376/article/details/42197485